Этимологический словарь русского языка - линь

Общеслав. Объясняется по-разному. Наиболее предпочтительно толкование слова как суф. производного (суф. -нь-) от липати «липнуть, прилипать», того же корня, что льнуть, липнуть. Исходное lipnь > линь, как *sъpnъ > сон. В таком случае рыба получила имя по липкому, слизистому покрову. Менее убедительно мнение о родстве с линять, в соответствии с которым линь назван по линючей коже, сходящей с рыбы кусками.

Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа

Н. М. Шанский, Т. А. Боброва

2004