Этимологический словарь русского языка - радуга

Искон. Объясняется по-разному. Скорее всего, переоформление райдуга (ср. диал. укр. райдуга), которое является сложением рай и дуга (ср. жар-птица, бой-баба и т. п.). В таком случае радуга буквально — «пестрая дуга» (ср. диал. раек «радужная оболочка глаза»). Менее убедительно по словообразовательно-фонетическим основаниям объяснение слова как суф. производного от рад, толкуемого как аналогичное сущ. веселка.

Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа

Н. М. Шанский, Т. А. Боброва

2004