Большая Советская энциклопедия - экстремум

(от лат. extremum — крайнее)

значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х0 функция f (x) имеет в x0 максимум (минимум), если существует окрестность (x0 + δ, x0 — δ) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x0), ≥ f (x) [соответственно, f (x0) ≤ f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x0) > f (x) [или f (x0) 0, и максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x0) < 0. Э. функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции (См. Наибольшее и наименьшее значения функции).

Аналогично Э. функции одного переменного определяется Э. функции нескольких переменных. Необходимым условием Э. является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х0, y0) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f'x = f'y = 0,

Δ = f " xx f " уу > 0,

то f (x, у) в точке М имеет Э. (максимум при f "xx минимум при emf/em "emsubxx/sub /em 0); Э. в точке emМ/em не существует, если Δ 0 (в этом случае emМ/em является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. strongemрис. 4/em/strong)./div/pp /divdiv class='voctext2' div Достаточные условия Э. функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы/div/pp /divdiv class='voctext2' div strongΣ/strongsupn/supsubi, k=1 /subemasubik/sub/emΔemxsubi/sub/emΔemxsubk/sub/em/div/pp /divdiv class='voctext2' div где emasubik/sub —/em значение emf "xsubi/subxsubk/sub /emв исследуемой точке. См. также Условный экстремум./div/pp /divdiv class='voctext2' div Термин «Э.» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении (См. Вариационное исчисление)./div/pp /divdiv class='voctext2' div em Лит.:/em Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971./div/pp /divdiv class='voctext2' div img src="http://i.enc-dic.com/dic/enc_sovet/images/0223363700.gif" alt="Рис. 1. к ст. strongЭкстремум/strong.">

Рис. 1. к ст. Экстремум.

Рис. 2. к ст. Экстремум.

Рис. 3. к ст. Экстремум.

Рис. 4. к ст. Экстремум.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978