Большая Советская энциклопедия - конформное отображение

конформное преобразование (математическое), отображение одной фигуры (области) на другую, при котором две любые кривые, пересекающиеся под некоторым углом во внутренней точке первой фигуры, преобразуются в кривые второй фигуры, пересекающиеся под тем же углом. Простейший пример К. о. представляет подобие. Другой пример — К. о. прямого угла на полуплоскость. Его можно получить, если каждый луч, выходящий из точки О под углом α к Ox, преобразовать в луч, выходящий из O' под углом 2α к O'x', и притом так, что каждая точка М, для которой OM = r, преобразуется в точку M', для которой O'M' = r². Т. к. М изображает комплексное число z = r (cosα + i sinα), а M' — число z' = r (cos2α + isin2α) = z², то можно сказать, что рассматриваемое К. о. осуществляется посредством функции комплексного переменного z' = z². Нетрудно убедиться в том, что полупрямые, параллельные сторонам угла, преобразуются при этом в полупараболы с общим фокусом в O'.

Нужно заметить, что углы с вершиной в точке О изменяются, увеличиваясь вдвое; это не противоречит определению К. о., т. к. О не является внутренней точкой области. В общем случае К. о. любой криволинейный многоугольник Р, лежащий внутри отображаемой области, преобразуется в криволинейный многоугольник P' с соответственно равными углами, но длины сторон изменяются непропорционально. Если многоугольник Р уменьшается, стягиваясь в некоторую точку A, то и P' уменьшается, стягиваясь в соответствующую точку A', при этом отношения длин сторон стремятся к одному и тому же числу:

,

которое зависит только от положения точки А (но не от рассматриваемых многоугольников); оно называется растяжением в данной точке. Указанный факт позволяет приближённо рассматривать любое К. о. «в малом» (т. е. в достаточно малой окрестности каждой точки A) как преобразование подобия, соединённое, вообще говоря, ещё с поворотом (например, четырёхугольники Р и P').

К. о. применяется с давних пор в картографии, когда требуется часть поверхности земного шара изобразить на плоскости (на карте) с сохранением величин всех углов; примерами таких К. о. являются Стереографическая проекция и Меркатора проекция. Более общая задача К. о. произвольной поверхности (или её части) на другую поверхность (или её часть) изучается в дифференциальной геометрии. Особое место занимают К. о. одних областей плоскости на другие; их теория имеет существенные приложения в гидрои аэромеханике, электростатике и теории упругости. Решение многих важных задач получается без труда, когда область, для которой ставится задача, имеет достаточно простой вид (например, круг или полуплоскость). Если задача ставится для другой, более сложной области, то оказывается достаточным отобразить конформно простейшую область на данную, чтобы получить решение новой задачи из известного решения. Так, например, задача об определении потока несжимаемой однородной жидкости или газа, обтекающего цилиндр с круговым сечением, решается сравнительно легко. Линии тока (т. е. линии, вдоль которых направлены скорости частиц жидкости), для этого случая, здесь представлено течение при наличии циркуляции (См. Циркуляция). Если отобразить конформно внешность кругового сечения цилиндра на внешность поперечного сечения крыла самолёта (профиля крыла), то линии тока для случая круглого цилиндра перейдут, как можно показать, в линии тока при обтекании крыла. Знание отображающей функции z' = f (z) позволяет подсчитать скорость потока в любой точке, вычислить подъёмную силу крыла самолёта и т. д. Именно таким путём шёл Н. Е. Жуковский, создавая теорию крыла самолёта.

Не всякие области плоскости допускают К. о. друг на друга. Так, например, круговое кольцо, ограниченное концентрическими окружностями радиусов R1 и R2, где R1

Рис. 1 к ст. Конформное отображение.

Рис. 2 к ст. Конформное отображение.

Рис. 3 к ст. Конформное отображение.

Рис. 4 к ст. Конформное отображение.

Рис. 5 к ст. Конформное отображение.

Рис. 6 к ст. Конформное отображение.

Рис. 7 к ст. Конформное отображение.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978