Большая Советская энциклопедия - преобразование

одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и том же отношении, увеличивать радиусы кругов на одну и ту же величину, вообще сопоставлять фигурам какого-либо класса другие, получаемые из них по определённым правилам. При решении дифференциальных уравнений операционными методами (см. Операционное исчисление) заменяют данные функции другими, преобразованными функциями, и т.д. Такие соответствия и называются П. Точнее, преобразованием называется соответствие, в силу которого каждому элементу х некоторого множества Х сопоставляется вполне определённый элемент у некоторого другого множества Y. Логически понятие П. совпадает с понятиями Функция, Отображение, Оператор. Термин «П.» чаще употребляют в геометрии и функциональном анализе, при этом обычно считают соответствие между х и у = f (x) взаимно однозначным.

Геометрические преобразования. В геометрии чаще всего рассматриваются точечные П., при которых каждой точке некоторого многообразия (См. Многообразие) (линии, поверхности, пространства) ставится в соответствие другая точка того же многообразия. Иными словами, точечное П. является отображением многообразия на себя. При точечном П. каждая фигура (прообраз), рассматриваемая как совокупность точек, преобразуется в новую фигуру, называемую образом первоначальной. Если точечное П. взаимно однозначно, то можно определить обратное П. (см. Отображение). Точечное П. называется тождественным, если при нём образ каждой точки совпадает с прообразом. Если ограничиться для определённости точечными П. плоскости, то такие П. могут быть заданы аналитически формулами:

x' = f (х, у), y' = φq (х, у),

где х, у — координаты прообраза, а x’, y' — координаты образа в одной и той же системе координат.

Многие важные классы точечных П. образуют группу (См. Группа), т. е. вместе с любыми двумя П. содержат их произведение (результат последовательного применения), а вместе с каждым П. содержат обратное П. Наиболее важные примеры групп точечных П. плоскости таковы:

1) группа вращений плоскости вокруг начала координат:

x' = х cosα — у sinα,

y' = х sinα + у cosα,

где α — угол поворота.

2) Группа параллельных переносов, при которых все точки смещаются на один и тот же вектор ai + bj:

x' = х + а, y' = у + b.

3) Группа движений, состоящая из П., не изменяющих расстояния между точками и ориентации плоскости:

x' = х cosα — у sinα + a1,

y' = х sinα + у cosα + b1.

См. также Движение в геометрии.

4) Группа движений и зеркальных отражений, состоящая из П., не изменяющих расстояния между точками плоскости. Совокупность движений и зеркальных отражений, совмещающих некоторую фигуру с собой, называется группой симметрии этой фигуры. Эта группа определяет свойства симметрии фигуры. Например, группа симметрии правильного тетраэдра состоит из 4! = 24 П., переставляющих между собой его вершины.

5) Группа П. подобия, порождаемая П. движения, зеркального отражения и гомотетии (См. Гомотетия).

6) Группа аффинных П., состоящая из взаимно однозначных отображений плоскости на себя, при которых прямые переходят в прямые: