Большая Советская энциклопедия - линейные дифференциальные уравнения

дифференциальные уравнения вида

y⁽ⁿ⁾ + p1(x) у^(n-1) + ... + pn(x)y = f(x), (1)

где у = y(x) — искомая функция, y⁽ⁿ⁾, у^(n-1),..., y' — её производные, a p1(x), p2(x),..., pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) ≡ 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y0 = y0(x) однородного Л. д. у. при условии непрерывности его коэффициентов pk(x) выражается формулой:

y0 = C1y1(x) + С2у2(х) + ... + Cnyn(x),

где C1, C2,..., Cn — произвольные постоянные и y1(x), у2(х),..., yn(x) — линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (Вронскиана):

(2)

Общее решение у = у(х) неоднородного Л. д. у. (1) имеет вид:

y = y0+Y,

где y0 = y0(x) — общее решение соответствующего однородного Л. д. у. и Y = Y(x) — частное решение данного неоднородного Л. д. у. Функция Y(x) может быть найдена по формуле:

,

где yk(x) — решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Л. д. у., и Wk(x) — алгебраическое дополнение элемента yk^(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).

Если коэффициенты уравнения (1) постоянны: pk(x) = ak (k = 1, 2, ..., n), то общее решение однородного уравнения выражается формулой: