Большая Советская энциклопедия - неопределённых коэффициентов метод

метод, применяемый в математике для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробь

может быть представлена в виде суммы

где А, В и С — коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:

и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенями х, получают:

(А + В + С) х² + (В С) х А = 3x² 1.

Так как последнее равенство должно выполняться для всех значений х, то коэффициенты при одинаковых степенях х справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов: А + В + С = 3, В С = 0, А = 1, откуда А = В = С = 1. Следовательно,

справедливость этого равенства легко проверить непосредственно. Пусть ещё нужно представить дробь

в виде

где А, В, С и D — неизвестные рациональные коэффициенты. Приравниваем второе выражение первому

или, освобождаясь от знаменателя, вынося, где можно, рациональные множители из-под знака корней и приводя подобные члены в левой части, получаем:

Но такое равенство возможно лишь в случае, когда равны между собой рациональные слагаемые обеих частей и коэффициенты при одинаковых радикалах. Т. о., получаются четыре уравнения для нахождения неизвестных коэффициентов А, В, С и D: А 2B + 3C = 1, —А + В + 3D = 1, A + C - 2D = —1, В С + D = 0, откуда A = 0, В = —¹/2, С = 0, D = ¹/2, т. е.

В приведённых примерах успех Н. к. м. зависел от правильного выбора выражений, коэффициенты которых отыскивались. Если бы в последнем примере вместо выражения

было взято выражение

то, рассуждая, как и выше, получили бы для трёх коэффициентов А, В и С четыре уравнения А 2В + 3С = 1, —A B = 1, A + C = —1, В С = 0, которым нельзя удовлетворить никаким выбором чисел А, В и С.

Особенно важны применения Н. к. м. к задачам, в которых число неизвестных коэффициентов бесконечно. К ним относятся задача деления степных рядов, задача нахождения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда и др. Пусть, например, нужно найти решение дифференциального уравнения у" + ху = 0 такое, что у = 0 и y' = 1 при х = 0. Из теории дифференциальных уравнений следует, что такое решение существует и имеет вид степенного ряда

у = х + c2x² + c3x³ + c4x⁴ + c5x⁵ + ․․․.

Подставляя это выражение вместо у в правую часть уравнения, а вместо y" — выражение

2c2 + 3·2с3х + 4·3с4х² + 5·4с5х³ + ․․․,

затем, умножая на х и соединяя члены с одинаковыми степенями х, получают

2c2 + 3·2c3x + (1 + 4·3c4) x² + (c2 + 5·4c5) x³ + ․․․ = 0,

откуда при определении неизвестных коэффициентов получается бесконечная система уравнений: 2c2 = 0; 3·2с3 = 0; 1 + 4·3c4 = 0; c2 + 5·4c5 = 0;...

Решая последовательно эти уравнения,

т. е.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 23 изд., М., 1974; т. 2, 20 изд., М., 1967; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978