Большая Советская энциклопедия - объём

одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.

Задача вычисления О. простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления О. тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул О. были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления О. от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления О. многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об О. многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей «перекроить» в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве Исчерпывания методом. Бесконечный процесс лежит и в основе современной трактовки измерения О., сводящийся к следующему. Рассматриваются всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела К. Вычисление О. многогранника сводится к вычислению объёмов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть {Vi} — числовое множество объёмов, вписанных в тело многогранников, a {Vd} — числовое множество описанных вокруг тела К многогранников. Множество {Vi} ограничено сверху (объёмом любого описанного многогранника), а множество {Vd} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {Vi}, называется нижним объёмом V тела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее снизу множество {Vd}, называется верхним объёмом V̅ тела К. Если верхний объём V̅ тела К совпадает с его нижним объёмом V, то число V = V̅ = V называется объёмом тела К, а само тело — кубируемым телом. Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанный в тело многогранник, разность Vd — Vi объёмов которых была бы меньше ε.

Аналитически О. может быть выражен с помощью кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1) ограничено цилиндрической поверхностью с параллельными оси Oz образующими, квадрируемой областью (См. Квадрируемая область) М плоскости Оху и поверхностью z = f (x, у), которую любая параллель к образующей цилиндра пересекает в одной и только в одной точке. Объём такого тела может быть вычислен с помощью двойного интеграла

Рис. 1 к ст. Объём.

Рис. 2 к ст. Объём.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978