Большая Советская энциклопедия - поверхности второго порядка

поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a11x² + a22y² + a33z² + 2a12xy + 2a23yz + 2a13xz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,

1) эллипсоиды

— эллипсоиды,

— мнимые эллипсоиды;

2) гиперболоиды:

— однополостные гиперболоиды,

— двуполостные гиперболоиды;

3) параболоиды (p > 0, q > 0):

— эллиптические параболоиды,

— гиперболические параболоиды;

4) конусы второго порядка:

— конусы,

— мнимые конусы;

5) цилиндры второго порядка:

— эллиптические цилиндры,

— мнимые эллиптические цилиндры,

— гиперболические цилиндры,

— параболические цилиндры.

Перечисленные П. в. п. относятся к т. н. нераспадающимся П. в. п.; распадающиеся П. в. п.:

— пары пересекающихся плоскостей,

— пары мнимых пересекающихся плоскостей,

х² = а² — пары параллельных плоскостей,

х² = —а² — пары мнимых параллельных плоскостей,

х² = 0 — пары совпадающих плоскостей.

При исследовании общего уравнения П. в. п. важное значение имеют т. н. основные инварианты — выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Например, если