Физическая энциклопедия - потенциалы электромагнитного поля

энергетич. характеристики эл.-магн. поля, к-рые вводят для описания поля наряду с силовыми хар-ками напряжённостью электрич. поля Е и магн. индукцией В. В электростатике векторное электрич. поле можно характеризовать одной скалярной ф-цией потенциалом электростатическим. В общем случае для описания произвольного эл.-магн. поля вместо Е и В можно ввести две др.

величины: векторный потенциал А (х, у, z, t) и скалярный потенциал j(x, у, z, t), где х, у, z координаты, t время, при этом В и E однозначно выражаются через А и j: Ур-ния для потенциалов поля имеют более простую форму, чем исходные Максвелла уравнения, что упрощает задачу нахождения переменных эл.-магн. полей. Существ. упрощение ур-ний для П. э. п. возможно благодаря тому, что потенциалы определяются неоднозначно. Если вместо А и j выбрать новые потенциалы где c произвольная ф-ция координат и времени, то векторы В и Е, определяемые ур-ниями (1), не изменятся. Инвариантность эл.

-магн. поля по отношению к преобразованиям потенциалов (2) носит назв. к а л и б р о в о ч н о й, или г р а д и е н т н о й, и н в а р и а н т н о с т и. Калибровочная инвариантность позволяет наложить на П. э. п. дополнит. условие. Обычно таким дополнит. условием явл. условие Лоренца: где e и m диэлектрич. и магн. проницаемости среды. При использовании условия (3) ур-ния для П.

э. п. в однородной среде (e=const, m=const), получаемые из ур-ний Максвелла, приобретают одинаковую форму: здесь D=д2/дx2+д2/дy2+д2/дz2т. н. оператор Лапласа, r и j плотности заряда и тока, a v=c/?em скорость распространения эл.-магн. поля в среде. Если r=0 и j=0, то П. э. п. удовлетворяют волновому уравнению.

Ур-ния (4) позволяют определить потенциалы A и j по известному распределению зарядов и токов, а следовательно, с помощью формул (1) и хар-ки эл.-магн. поля В и Е. Частные решения ур-ний (4), удовлетворяющие причинности принципу, наз. з а п а з д ы в а ю щ и м и п о т е н ц и а л а м и. Запаздывающие потенциалы в точке с координатами х, у, z в момент времени t определяются плотностями заряда и тока в точке с координатами х', у', z' в предшествующий момент времени t=t-R/v, где R=?((х-х')2+(у-у')2+(z-z')2)расстояние от источника поля до точки наблюдения.

Если заряды и токи распределены в конечной области пространства G, то запаздывающие потенциалы определяются интегрированием элементарных потенциалов от зарядов и токов, сосредоточенных в бесконечно малых объёмах dx'dy'dz', с учётом времени запаздывания: Через П. э. п, выражается Гамильтона функция (Н) заряженной ч-цы, движущейся в эл.

-магн. поле: где р импульс ч-цы, е и m её заряд и масса. Соответственно через П. э. п. выражается оператор Гамильтона (гамильтониан) в квант. теории. .