Энциклопедия Кольера - конечные разности

Исчисление конечных разностей связано с изучением свойств и применений разностей между соседними членами какой-нибудь последовательности или между значениями функции в точках, расположенных с постоянным интервалом в некотором пространстве. Слово "конечные" используется здесь в несколько устаревшем смысле "не бесконечно малые", т.

е. не связанные с предельными переходами. Поскольку дифференциальное исчисление занимается изучением пределов разностей, а исчисление конечных разностей самими разностями, то естественно, что между этими двумя теориями существуют много параллелей. Исчисления конечных разностей используются при интерполяции в математических таблицах, при суммировании числовых рядов, при вычислении интегралов и дифференцировании функций.

Разности встречаются также в любой ситуации, когда надо описать поведение объекта, который испытывает воздействие меняющихся условий на определенном расстоянии (во времени и в пространстве). Например, термостату требуется значительное время, чтобы отреагировать на изменение температуры, поэтому он реагирует не на текущую температуру, а на ту, что была минуту назад.

Другой пример: автомашиной управляет водитель, которому требуется какое-то время, чтобы отреагировать на возникшую на дороге ситуацию. Под конечной разностью первого порядка функции f (x) принято понимать величину "разделенной разности". Разделенные разности первого и второго порядков определяются следующим образом: Помимо уже названных выше приложений, исчисление конечных разностей используется в страховании, теории вероятностей и статистике.

В последние годы с изобретением быстродействующих компьютеров конечные разности стали все более широко применяться при решении дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, многие из которых ранее было невозможно решить другими математическими методами.

У истоков теории. Хотя исследование свойств и использование конечных разностей приходится на современный период развития математики, Птолемей (ок.

150 н.э.) ввел в Альмагесте таблицу разностей первого порядка, чтобы облегчить расчеты в таблице длин хорд. Разности второго порядка использовал при вычислении своих таблиц логарифмов в 1624 Г. Бриггс. Теория интерполяции берет начало со знаменитой пятой леммы из 3-й книги Математических начал (1687) И.

Ньютона, в которой впервые была приведена формула, носящая ныне его имя. Частный случай формулы Ньютона, открытый также независимо его современником Дж. Грегори (1638-1675), приведен ниже (см. формулу (7)). В общей формуле интерполяции Ньютона использовались разделенные разности, хотя этот термин, по-видимому, был введен О.де Морганом (1806-1871) в 1848.

Первое применение исчисления конечных разностей к задачам теории вероятностей принято связывать с именами П.де Монтмора (1678-1719) и А. де Муавра (1667-1754). Хотя Л. Эйлер (1707-1783) в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основания современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж.

Лагранжем (1736-1813) и П. Лапласом (1749-1827). Первый из них ввел в исчисление конечных разностей символические методы, второй сделал конечные разности главным инструментом в своей Аналитической теории вероятностей (1812). Под влиянием этих работ математики 19 в. принялись интенсивно разрабатывать предмет, и в 1860 Дж. Буль выпустил свой классический Трактат об исчислении конечных разностей.

С тех пор это исчисление и круг его приложений существенно расширились. Одно из наиболее важных приложений конечные разности нашли в статистике. Особенно полезными они оказались в теории сериальной корреляции, в анализе случайных последовательностей и статистических временных рядов.

Интерполяция. Чтобы понять, как конечные разности используются при интерполяции, рассмотрим следующую таблицу: Величины в первом столбце таблицы называются значениями аргумента, во втором табличными значениями функции.

В трех следующих столбцах приведены разности первого, второго и третьего порядков. Числа 7, 12, 6 называются "ведущими" или "диагональными разностями", соответствующими первому аргументу. Термин "диагональные" использован потому, что разности относительно соответствующих аргументов и табличных значений располагаются не по горизонтали.

Величина (1/2) (19 + 37) = 28 называется центральной разностью, соответствующей третьему аргументу, и обозначается символом md. Греческая буква m означает среднее, md среднее соседних разностей. Величина 18 называется центральной разностью второго порядка и обозначается символом d2 . Термин "центральная" указывает на то, что эти разности расположены по центру относительно аргумента, т.

к. они либо лежат на одной горизонтали с аргументом, либо являются средними значений, расположенных по соседству с этой горизонталью. Обобщая, таблицу величин можно записать в символических обозначениях следующим образом: Величины D f (x), D2 f (x), D3 f (x) представляют собой диагональные разности, соответствующие аргументу x. Если мы захотим найти табличные значения для аргумента x + pd, где p некоторое произвольно выбранное число, то необходимо подставить соответствующие значения в следующий ряд, известный под названием интерполяционной формулы Грегори Ньютона (в русскоязычной литературе эту формулу принято называть формулой Ньютона): .