Этимологический словарь Фасмера - мите

нареч. "попеременно", церк., ст.-слав. митѣ – то же (Супр.), русск.-цслав. митусь, митусъ – то же, укр. ми́тусь, митьма́, митьмо́в – то же, болг. на́мито "поперек, косо" (Младенов 299), сербохорв. усу̀мит, су̏митицē "из двух человек; лежа так, что там, где находится голова одного, приходятся как раз ноги другого", польск. диал. mitus, mituś "крест-накрест, рядом друг с другом, но концами в разные стороны", mitwać "путать, спутывать". Отсюда митуси́ть "смотреть, подмигивая". Родственно лтш. mits, mitus "мена", mitе – то же, mitêt "изменять", mitežām "сообща", mituôt "менять", др.-инд. mḗthati, mitháti "чередует", míthū, míthuṣ, mithuyā, mithyā "превратный, ложный", mithás "обоюдный, попеременный, вместе", авест. miϑō "превратный, ложный", miϑwa"спаренный", греч. (сицилийск.) μοῖτος "возмездие, благодарность", лат. mūtō, -ārе "изменять", mūtuus "обоюдный, взаимный", ирл. mith-, mis"лже-" (Стокс 217), гот. maiÞms "дар", maidjan "менять", missō "друг друга"; см. Зубатый, IF 3, 136; Бернекер 2, 62; М.–Э. 2, 639; Уленбек, Aind. Wb. 224; Торп 321; Траутман, ВSW 176 и сл.; Вальде–Гофм. 2, 137; Педерсен, IF 5, 39. Ср. также месть, ме́на.

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973