Этимологический словарь Фасмера - троха

тро́ха тро́хи, тро́шки "немного", зап., южн. (Даль), тро́ху, тро́шку – то же, смол., укр. тро́ха, тро́хи – то же, блр. тро́хi, тро́ху, сербск.-цслав. троха ψίξ, др.-русск. трошьнъ "мелкий", по трошьну "подробно" (см. Срезн. III, 1004), болг. троха́ "крошка хлеба, мелочь", сербохорв. тро̏ха, словен. tróhа "обломок, кусочек", чеш. trосhа, слвц. trосhа, польск. trochę, в.-луж. trосhа, н.-луж. tšосhа. Сюда же др.-русск. тръхътъ, тръхоть "крошка, мелкая монета", сербск.-цслав. тръхъть м. λεπτόν, чеш. trосhеt "немного", также по́трох (см.). Обычно сравнивают с тере́ть; см. Мi. ЕW 362; Младенов 640; Преобр. II, 117. По мнению Ильинского (ИОРЯС 23, 2, 185), родственно тро́гать. И то и другое недостоверно.

Этимологический словарь русского языка. — М.: Прогресс

М. Р. Фасмер

1964—1973