Этимологический словарь русского языка - зябнуть

Общеслав. Суф. производное от *zębati (ср. прозябать, диал. зябти), той же основы (с перегласовкой о/е), что и зуб. Исходное значение — «расти, произрастать», затем — «мерзнуть». Растения и почки деревьев дают «зуб», т. е. начинают «прозябать» в зяблое время.

Школьный этимологический словарь русского языка. Происхождение слов. — М.: Дрофа

Н. М. Шанский, Т. А. Боброва

2004