Управление в русском языке - к — под

(при указании на срок, к наступлению которого совершается что-л.). Предлоги синонимичны, различаются: 1) оттенками значения; с предлогом к — к моменту наступления, с предлогом под — на грани наступления. Ср.: вернулся к вечеру — ...под вечер. К утру бред прошел (Лермонтов). Под утро за городом прошел сильный дождь (В. Беляев); 2) стилистическими оттенками: стал болеть к старости — ...под старость (второй вариант разговорный).

Пунктуация и управление в русском языке

Д.Э. Розенталь

.