Большая Советская энциклопедия - интеграл

(от лат. integer — целый)

одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление).

Неопределённый интеграл. Первообразная функции f (x) одного действительного переменного — функция F(x), производная которой при каждом значении х равна f (x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразную F(x) функции f (x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в виде F(x) + С. Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:

функции f (x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функция f (x) действительного переменного имеет неопределённый И.

Определённый интеграл. Определённый И. функции f (x) с нижним пределом а и верхним пределом b можно определить как разность

где F(x) есть первообразная функции f (x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И. Если функция f (x) непрерывна, то приведённое определение в случае a < b равносильно следующему определению, данному О. Коши (1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a, b] точками

в каждом отрезке [xi—1, xi] (i = 1, 2,..., n) берут произвольную точку ξi (xi—1 ≤ ξi ≤ xi) и образуют сумму

Сумма Sn зависит от выбора точек xi и ξi. Однако в случае непрерывной функции f (x) суммы Sn, получающиеся при различном выборе точек xi и ξi, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностей xi — xi—1 стремится к нулю при n → ∞. Этот предел и является определённым интегралом

По определению,

Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразную F(x). Обратно, первообразная F(x) может быть записана в виде

где а — произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде

О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление.

Обобщение понятия интеграла

Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом

предел сумм Sn при max(xi — xi—1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман (1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функции f (x) на [a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий: f (x) ограничена на [а, b], множество помещающихся на [a, b] точек разрыва функции f (x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а, b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.

Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразная F(x) не обязана иметь подинтегральную функцию f (x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывности f (x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет

Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)

где Mk — верхняя грань функции f (x) на отрезке [xk—1,xk], а mk — нижняя грань f (x) на том же отрезке. Если I̅ нижняя грань сумм