Философская энциклопедия - сохранение предиката

СОХРАНЕ́НИЕ ПРЕДИКА́ТА

понятие алгебры логики, применяемое для формулировки критериев полноты функциональной классов функций различных систем многозначной логики; введено сов. математиком А. В. Кузнецовым. Функция φ(x1 ..., хn), по определению, сохраняет предикат Ρ(x1, ..., xs), если формула Р(x11, х12, ..., x1S)&P(x21, х22, ..., x2S)&Ρ(xn1, хn2, ..., xnS)⊃Ρ(φ(x11, ..., xn1), φ(х12, ..., хn2) ..., φ(x1S, ..., xnS) истинна при всех значениях переменных хij (i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., s; & – знак конъюнкции, ⊃ – знак (материальной) импликации). Множество всех функций, сохраняющих предикат Р, наз. классом С. п. Р. Примером применения понятия С. п. может служить сформулированное в его терминах условие функциональной полноты множества А функций двузначной алгебры логики, полученное сов. математиком С. В. Яблонским, состоящее в том, что А не должно включаться (или совпадать) ни в один из классов С. п. для след. предикатов (здесь "+" означает операцию сложения по модулю 2, т.е., по определению, 0+0=1+1=0, 0+1=1+0=1): 1) х=0, 2) х=1, 3) х≠у, 4) x+y=u+z, 5) х≤у. С. п., к-рый (предикат) имеет место для всех элементов к.-л. области предметов, есть естеств. условие возможности (или обоснованности, корректности) расширения этой области предметов. В такой роли понятие С. п. выступает обычно в форме т.н. принципа п е р м а н е н т н о с т и (Г. Ганкель), согласно к-рому любые предикаты и(ли) операции, определяемые на расширенной области, для элементов исходного (расширяемого) класса должны иметь те же значения, что и определенные на исходной области одноименные предикаты и операции (общеизвестные примеры: доопределение арифметич. операций, определенных первоначально для натуральных чисел, на области целых, рациональных, действит. и комплексных чисел).

Лит.: Кузнецов А. В., О проблемах тождества и функциональной полноты для алгебраических систем, в кн.: Тр. 3 Всес. математич. съезда, т. 2, М., 1956, с. 145–46; Яблонский С. В., Функциональные построения в k-значной логике, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1958, т. 51.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.