Энциклопедия Кольера - алгебраическая геометрия

раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) многочлен от координат x и y. Например, окружность x2 + y2 1 = 0 и кривая x3 + x2 y2 = 0 алгебраические кривые, а y sin x = 0 трансцендентная кривая (т.

е. алгебраической кривой не является). Алгебраическое уравнение с тремя неизвестными определяет алгебраическую поверхность в пространстве. Две алгебраические поверхности пересекаются по алгебраической пространственной кривой. Понятия "алгебраическая кривая" и "алгебраическая поверхность" допускают обобщения в пространствах размерности более трех, где их аналогами служат алгебраические многообразия.

Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим).

Например, прямая (уравнение первой степени) и окружность (уравнение второй степени) могут иметь самое большее две общие точки, но могут иметь и только одну общую точку (если прямая касается окружности) или ни одной. Особая точка алгебраической плоской кривой характеризуется тем, что в ней может существовать более одной касательной.

Число касательных называется кратностью точки. Например, (0,0) особая точка кривой x3 + x2 y2 = 0. Для любой кривой заданной степени существует предел числа и кратности особых точек, и многие свойства кривой определяются характером ее особых точек. Гораздо сложнее обстоит дело в случае поверхностей и других многообразий. Например, на алгебраической поверхности помимо конечного числа изолированных особых точек могут быть несколько особых кривых, т.е. кривых, каждая точка которых особая. Переход от кривой f (x, y) = 0 к кривой f (x, xy) = 0 характерен для процесса, известного как квадратичное преобразование. Например, уравнение x3 + x2 -y2 = 0 преобразуется в x3 + x2 x2y2 = 0 или в x + 1 y2 = 0 после деления всех членов уравнения на x2. В этом случае у преобразованной кривой нет особых точек, и можно показать, что с помощью последовательности квадратичных преобразований особые точки любой алгебраической кривой можно превратить в неособые. Квадратичное преобразование простейшее в общем классе бирациональных преобразований.

Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях. В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе.

ЛИТЕРАТУРА

Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М., 1972 Хартскорн Р. Алгебраическая геометрия. М., 1981 .