Энциклопедия Кольера - алгебра абстрактная

(общая алгебра), раздел современной математики, выросший из исследования уравнений и теории чисел. Свою теперешнюю форму абстрактная алгебра начала приобретать лишь в двадцатом веке. Занимается главным образом изучением систем, элементы которых можно сочетать по различным правилам, получая в результате новые элементы, вне зависимости от конкретной природы самих элементов. В последние десятилетия абстрактная алгебра все глубже проникает в различные разделы математики, становясь неоценимым средством исследования в столь различных ее областях, как геометрия, топология, математический анализ и дифференциальные уравнения. Даже у социологов и аналитиков, работающих в сфере бизнеса, возникает необходимость в хотя бы поверхностном знакомстве с теорией матриц, являющейся частью абстрактной алгебры. Фактически в настоящее время сложилась такая ситуация, что наиболее важными являются не те достижения абстрактной алгебры, которые способствуют углублению наших знаний в самой этой области, а те, что предлагают новые средства исследования для других ветвей математики. Абстрактная алгебра оказалась полезной не только в математике. Ее средства и методы используются всюду, где возникает потребность в организации больших объемов данных. Абстрактная алгебра нашла применение при решении широкого круга проблем от проектирования электронных схем до составления суточных графиков работы нефтеперегонных заводов, позволяющих максимизировать прибыль. Кратко остановимся на некоторых основных алгебраических системах.

Группы. Группой G называется множество, или набор, элементов a, b, ... (относительно их природы не делается никаких предположений), в котором задана операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов a, b из G третий элемент, ab, называемый их произведением, причем (i) (ab) c = a (bc), т.е. произведение элемента ab и еще одного элемента c из G равно произведению элементов a и bc; (ii) для любой пары элементов a, b из G существуют элементы x и y из G, такие, что xa = b, ay = b. (Такая операция обычно называется умножением.) Следует заметить, что условие (ii) означает возможность деления в группе. Действительно, в силу условий (i) и (ii) в G всегда существует такой элемент 1 (называемый единицей или единичным элементом), что 1a = a1 = a для всех элементов a группы G, и для каждого элемента a из G в G существует элемент 1/a, называемый его обратным, такой, что a (1/a) = (1/a) a = 1. Тогда мы можем записать x = b (1/a), y = (1/a) b. Различать элементы x и y необходимо, поскольку не предполагалось, что ab = ba. Следует ясно сознавать, что слова "умножение" и "деление" используются в теории групп просто для операции, ставящей в соответствие двум элементам a и b исходного множества третий элемент той же группы, для которого с тем же успехом можно было бы использовать символы a * b, a + b или a Щ b. Таким образом, для того чтобы задать конкретную группу, нужно указать множество ее элементов, определить на нем операцию умножения и, наконец, проверить, что введенное умножение удовлетворяет условиям (i) и (ii). Приведем несколько примеров групп. (A) Множество всех положительных и отрицательных целых чисел, включая нуль, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., где в качестве произведения двух чисел берется их обычная сумма. Условие (i) просто закон ассоциативности сложения a + (b + c) = (a + b) + c; что касается условия (ii), то можно положить x = y = b a.

(B) Множество всех отличных от нуля рациональных чисел (дробей p/q, где p и q положительные или отрицательные целые числа) с произведением, определенным, как обычно: (p/q)(p'/q') = pp'/qq'. Условие (i), как и в предыдущем примере, это одно из основных свойств чисел, а условие (ii) удовлетворяется, если для a = p/q, b = p'/q' положить x = y = b : a = p'q/q'p. (C) Более абстрактным примером может служить так называемая циклическая группа порядка n: множество ее элементов составляют n символов a0, a1, a2, ..., an 1, а произведение определяется соотношением akal = ar, где r = k + l, если k + l < n; если же k + l і n, то r остаток от деления числа k + l на n. Условия (i) и (ii) проверяются без труда, a0 играет роль единичного элемента, а 1/ak = an k. В этих трех примерах умножение коммутативно, т.е. ab = ba. Группы с таким умножением называются коммутативными или абелевыми в честь Н. Абеля (1802-1829). (D) Пусть H множество всех вращений плоскости вокруг некоторой неподвижной точки P, а также ее отражений относительно заданной прямой l, проходящей через P. Если a и b два элемента из H, то под ab условимся понимать преобразование плоскости, получаемое при выполнении сначала преобразования b, а затем преобразования a. Взяв все возможные произведения элементов из H, мы получим группу G, называемую двумерной ортогональной группой. Слово "ортогональная" в названии группы указывает на то, что преобразования из G сохраняют прямые углы. Нетрудно видеть, что условие (i) выполняется; что же касается условия (ii), то если определить 1/a для любого элемента a из G как преобразование, которое уничтожает действие преобразования a, то x = (1/a) b, y = b (1/a) будут удовлетворять условию (ii). Эта группа неабелева. Действительно, пусть a поворот на 45В° вокруг точки P, а b отражение относительно заданной прямой. Рассматривая, что произойдет с произвольно выбранной точкой, не лежащей на этой прямой, нетрудно убедиться, что ab № ba. (E) Наш последний пример так называемая симметрическая группа, Sn, n-й степени. Это множество всех подстановок на n символах 1, 2, 3, ..., n. В данном случае подстановка это замена каждого целого числа i от 1 до n другим числом, f(i), также заключенным между 1 и n, причем так, что f(i) № f(j), если i № j. Под fЧg здесь понимается подстановка, которая получается при выполнении сначала подстановки g, а затем подстановки f. Условия (i) и (ii) проверяются так же, как мы проверяли их в примере (D). При n > 2 группа Sn неабелева. Например, в S3, если f и g заданы соотношениями f (1) = 2, f (2) = 3, f(3) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) = 1, то (fg)(1) = f(g(1)) = f(3) = 1, но (gf) (1) = g(2) = 2; поэтому fg № gf. Одна из основных задач теории групп более явное описание структуры некоторых классов групп. Как показывают приведенные примеры, существует огромное количество самых разных типов групп: группы бывают конечные ((C) и (E)) и бесконечные ((A), (B) и (D)), абелевы и неабелевы, и можно указать еще множество других типов, отличающихся во многих важных отношениях. Таким образом, нужно доказывать утверждения типа: "если группа G удовлетворяет некоторым предположениям, она должна выглядеть таким-то и таким-то образом". Примером таких утверждений является следующая теорема: любая абелева группа, состоящая из конечного числа n элементов, где n простое число, является циклической группой порядка n. Теория групп находит применение почти во всех разделах математики, играя роль связующего звена между многими, на первый взгляд совсем разными, ее областями. Пример групп (D) показывает, что эта теория очень полезна при рассмотрении геометрических задач, но она оказывает неоценимую помощь и в чисто аналитических разделах математики. Все шире используют теорию групп в своей работе и физики-теоретики. Чтобы еще раз продемонстрировать, как используется теория групп в геометрии, отметим, что различные геометрии (евклидова, гиперболическая, эллиптическая и т.д.) на плоскости можно охарактеризовать их группами движений. Иначе говоря, эти группы различаются своей структурой, и все геометрические факты допускают переформулировку в виде чисто теоретико-групповых теорем. Группы имеют также очень важное значение в топологии разделе геометрии, изучающем общие соотношения формы и пространства, не обращая внимания на метрические характеристики размера. Например, топологическая задача о том, сколькими способами одна резиновая сфера может быть обернута вокруг другой, сводится к вычислению некоторых групп так называемых гомотопических групп.

Кольца. Множество R элементов a, b, c, ... называется кольцом, если каждой паре элементов a, b из R поставлен в соответствие некоторый элемент из R, называемый их суммой и обозначаемый a + b, и еще один элемент из R, называемый их произведением и обозначаемый ab. Кроме того, должны выполняться следующие условия: (1) a + (b + c) = (a + b) + c;

(2) a + b = b + a;

(3) для любых двух элементов a, b из R существует элемент x из R, такой, что a + x = b; (4) (ab) c = a (bc); (5) a (b + c) = ab + ac, (b + c) a = ba + ca. Внимательный читатель заметит, что выполнение условий (1), (2) и (3) означает, что R абелева группа по сложению. Единственный элемент x, такой, что a + x = a (существование которого может быть доказано), называется нулевым элементом кольца R и обозначается 0. Исходя из свойств (1)-(5), нетрудно доказать, что для каждого элемента a из кольца R справедливо равенство aЧ0 = 0Чa = 0. Однако есть кольца, в которых нулем может оказаться произведение ненулевых элементов, т.е. в таких кольцах существуют элементы a, b, ни один из которых не равен 0, но для которых ab = 0. Такие кольца называются кольцами с делителями нуля. (Мы встретимся с ними в разделах, посвященных полям и матрицам.) Многие тождества, известные из обычной алгебры, выполняются и в произвольных кольцах: все обычные тождества, содержащие только сложение и вычитание, а также тождества, не использующие коммутативность умножения или возможность деления, сохраняют силу и в произвольном кольце R. Например, тождество a [[(b + c) + (e + f)]] = (ae + ac) + (ab + af) остается верным в любом кольце R. Примерами колец могут служить уже упоминавшееся множество всех целых чисел с обычными операциями сложения и умножения и множество всех многочленов f (x) = a0 + a1x + ... + anxn, где ai действительные числа, а x переменная. Два многочлена являются одним и тем же элементом кольца в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной x равны. Сумма многочленов