Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - асимптота

(от греч. слов: α, συν, πίπτω) — несовпадающая. Под асимптотой подразумевается такая линия, которая, будучи неопределенно продолжена, приближается к данной кривой линии или к некоторой ее части так, что расстояние между обеими линиями делается менее всякой данной величины; иначе говоря, А. касается данной кривой линии на бесконечном расстоянии от начала координат. Всякая другая линия, параллельная А., хотя и приближается непрестанно к кривой, однако, не может быть названа в свою очередь А., так как расстояние ее от кривой не может быть уменьшено по произволению. Таким образом, число А. для каждой кривой вполне ограничено. С тех пор как греческие геометры стали исследовать свойство кривых линий, образующихся на поверхности конуса от пересечения его плоскостью, стало известным, что ветви гиперболы, будучи неопределенно продолжены, непрестанно сближаются с двумя прямыми линиями, исходящими из центра гиперболы и одинаково наклоненными к ее оси. Эти прямые, о которых упоминает уже Архимед, были еще в древности названы А. и сохранили свое название и по настоящее время. Впоследствии Ньютон показал, что существуют криволинейные А. не только в кривых трансцендентных, но даже в алгебраических, начиная с 3 порядка последних. Действительно, ныне различают А. прямолинейные и криволинейные; но обыкновенно прямолинейной А. присваивают название Асимп., называя криволинейную — асимптотическою кривою. Основываясь на вышеприведенном определении, что прямолинейная А. есть касательная к кривой в точке, бесконечно удаленной от начала координат, легко найти уравнение А. данной кривой. В самом деле, пусть y = f(x) есть уравнение кривой линии; уравнение касательной ее в точке, определенной координатами х и у, будет, как известно, У— у = dy/dx(Х — х) или Y = (dy/dx)Х + у — x(dy/dx). Чтобы перейти от касательной к А., стоит сделать одно из следующих предположений: 1) x и y = ±∞, 2) х = ±∞, а у = конечному числу и 3) у = +∞, а х = конечному числу, так как этими предположениями мы выражаем, что точка касания находится на бесконечном расстоянии от начала координат. Так, для гиперболы, определяемой уравнением (x²/a²) — (y²/b²) = 1 находим Y = ±(b/a)∙[x/√(x² — a²)]∙X ± [ab/√(x² — a²)]. Полагая х = ∞, найдем ±(b/a) — [x//√(x² — a²)] = ±(b/a)∙[1/√(1 — a²/ x²)] = ±(b/a), и ±[ab//√(x² — a²)] = 0; следовательно, уравнение А. рассматриваемой гиперболы будет У = ±(b/a)Х или, что все равно, Y = +(b/a)X и Y = -(b/a)X; последние два уравнения показывают, что гипербола имеет две А. Можно также определить А. следующим образом. Пусть будет У А. = Х + В уравнение А., не параллельной оси у. Ордината у кривой, соответствующая абсциссе x, для весьма больших величин сей абсциссы будет очень мало разниться от ординаты У а-ты, так что можно ее принять у = Ах + В ± ε, подразумевая под ε количество, уничтожающееся вместе с 1/x. Итак, полагая x = ∞, найдем пред. (Y/X) = пред. и пред. (у — Ах) = пред. (В ± ε) = В. Следовательно, для определения постоянного количества стоит только в уравнении кривой положить Y/X = q или y = xq и сыскать предел, к которому стремится q для бесконечно больших значений х. Величина В определится, если в уравнении кривой примем у — Ах = ν, или у = Ах + ν. Изменив х на у и наоборот и рассуждая так же, как и выше, найдем А., не параллельные оси х. Так, например, уравнение рассмотренной нами гиперболы через подстановку qx вместо у дает a²/x² — q²x²/b² = 1 или q² = b²/a² — b²/x²; полагая х = ∞, найдем q² = b²/a², или q = ±(b/a)A. Полагая в том же уравнении y = Ax + ν = +(b/a)x + ν, получим x²/a² — [(±x(b/a) + ν)²/b²] = 1, или ν = ±(b/a)∙[√(x² — a²) — x], где, полагая x = ∞, получим ν = 0 = B; следовательно, уравнение А. предложенной гиперболы будет, как и выше, Y = +(b/a)X, что и требовалось доказать. Бесчисленное множество кривых имеет А.; укажем, кроме упомянутой уже гиперболы, следующие кривые, имеющие А.: конхоида, логарифмическая линия, циссоида, декартов лист и др. Чертежи I, II и III представляют (см.) примеры а-ты: линии KL и MN служат (черт. I) асимптотами нормальной равносторонней гиперболы, получающейся от пересечения поверхности конуса плоскостью, — пересекающимися в точке О, начала координат, под прямыми углами;линии AF и AG (черт. II) изображают А. частей СВ и CED так называемой пересечной гиперболы.

Змиевидная гипербола DBE (черт. III) имеет асимптотой линию АС.

Пример асимптотической кривой усматриваем в кривой 3-го порядка, определяемой уравнением у = x² + 1/x. Очевидно, что по мере увеличения абсциссы х в положительную или отрицательную сторону член 1/x будет неопределенно уменьшаться, а х² увеличиваться, так что ордината у будет приближаться все более и более к значению х², которого, однако, никогда не достигает. Отсюда ясно, что рассматриваемая нами кривая имеет А-ской кривой параболу, определяемую уравнением у = х². Для весьма малых положительных или отрицательных значений абсциссы х случится обратное положение: численная величина дроби — неопределенно возрастает, а х², напротив того, уменьшается, так что ордината у будет стремиться к равенству с 1/x; таким образом, равносторонняя гипербола, отнесенная к своим асимптотам, будет также А-ою предложенной кривой.

На чертеже IV (см.) предложенная кривая означена буквами а, а, b, b.... а', а', b', b'...; парабола буквою р, гипербола — q. Парабола служит асимптотической кривой ветвям а, а, а,... и а', a', а'... кривой, а гипербола — ветвям b, b, b... и b', b', b'... Сверх того, предложенная кривая имеет прямолинейную А., а именно, ось уу'.

Асимптота поверхности называется прямая линия, пересекающая поверхность по крайней мере в двух бесконечно удаленных точках.

Асимптотическая плоскость — плоскость, касающаяся данной поверхности в бесконечно удаленной точке, но не лежащая вся в бесконечности.

Асимптотическая поверхность — поверхность, обертывающая асимптотические плоскости к некоторой поверхности. Всякая поверхность имеет, вообще говоря, бесконечно большое число бесконечно удаленных точек, а именно все точки пересечения ее с бесконечно удаленною плоскостью, совокупность которых составляет бесконечно удаленную кривую, лежащую на данной поверхности. Всякой точке этой кривой соответствует одна А., так что поверхность имеет бесконечное число А., вещественных или мнимых. Так как в то же время во всякой точке можно провести к поверхности касательную плоскость, то поверхность имеет и бесконечное число асимптотических плоскостей, вещественных или мнимых. Всякая такая плоскость заключает в себе бесконечное число А., а так как все эти А. пересекают поверхность в одной и той же бесконечно удаленной точке, то они между собой параллельны. А.-ческая поверхность очевидно линейчатая поверхность. Пусть уравнение данной поверхности есть F(x, y, z) = 0 и пусть х — ν/λ = y — η/μ = z — ζ/ν εсть уравнение одной из А. Расположим Е по однородным функциям n-го, (n — 1)-го и т. д. измерений: F = φn + φn—1 +.. . φ1 + φ0. Точки пересечения А. и поверхности суть корни уравнения F (ξ + λr, η + μr, ζ + νr) = 0. Назовем через D операцию ξ(d/dλ) + η(d/dμ) + ζ(d/dν); тогда будет, если φ′ φn—1 означают функции от λ, μ, νПростая A. получится, если два корня этого уравнения обратятся в бесконечность, т. е. если φn = 0 и D φn + φn—1 = 0. Уравнения эти показывают, что все асимптоты параллельны производящей конической поверхности φn(х, у, z) = 0 и что все А., параллельные одной из производящих этого конуса, лежат в одной плоскости, параллельной плоскости касательной к конусу с соответствующей производящей.

Уравнение u = D φn + φn—1 = 0 есть уравнение одной асимптотической плоскости. Для смежной асимптотической плоскости будет

(du/dλ)dλ + (du/dμ)dμ + (du/dν)dν = 0

причем также (dφn/dλ)dλ + (dφn/dμ)dμ + (dφn/dν)dν = 0

и в силу равенства λ² + μ² + ν² = 1 λdλ + μdμ + νdν = 0

откуда получается du/dλ : dφn/dλ = du/dμ : dφn/dμ = du/dν : dφn/dν.

Это последнее уравнение вместе с u = 0 изображает линии сечения двух смежных асимптотических плоскостей, то есть одну из производящих асимптотической поверхности. Исключая из этих двух уравнений и φn(λ, μ, ν) = 0 величины λ, μ, ν, получим искомое уравнение асимптотической поверхности. Можно показать, что в общем случае порядок асимптотической поверхности для поверхности n-го порядка есть n (3n — 5). Поверхности 2-го порядка суть единственные, для которых асимптотические поверхности также 2-го порядка. В особенных точках поверхностей их асимптотические поверхности могут быть низшего порядка. В каждой касательной плоскости есть две инфлексиональные касательные (см. это сл.); точно так же в каждой асимптотической плоскости есть две инфлексиональные асимптоты, проходящие через три последовательные точки поверхности, а так как плоскость, проведенная через инфлексиональную касательную, пересекает поверхность по кривой, имеющей точку перегиба в точке касания этой касательной, то кривая пересечения поверхности и плоскости, проходящей через инфлексиональную асимптоту, имеет точку перегиба в бесконечности. Инфлексиональные асимптоты суть линии пересечения поверхности 1/2D²φn + Dφn—1 = 0 и плоскости Dφn + φn—1 = 0.

Если поверхность имеет двойную точку в бесконечности, то вместо конуса φn = 0 получится цилиндр второго порядка. Касательные в двойной точке, вообще говоря, пересекают поверхность в трех точках. Точно так же есть шесть производящих асимптотического цилиндра, пересекающих поверхность в четырех точках. Кривая пересечения поверхности с плоскостью, параллельной направлению производящих цилиндра, имеет двойную точку в бесконечности. Эта двойная точка обращается в угловую точку, если плоскость проходит через производящую цилиндра.

Асимптотическая точка. — Так называется точка, около которой обращается кривая и, неопределенно приближаясь к ней, никогда ее не достигает. Примером А-ой точки могут служить так назыв. локсодромия и спираль арифметическая (см. эти слова).

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907