Энциклопедия Брокгауза и Ефрона - симметрические функции

Функция от n переменных х1, x2,..., хn наз. симметрическою, если она не меняется при всевозможных перестановках этих переменных. Например: x1²x2 + x1²x3 + х2²x1 + x2²x3 + x3²x1+ x3²x2 есть С. функция, так как она не меняется при всех перестановках букв х1, x2 и x3. Эта функция вполне определяется одним членом х1²x2 и потому для краткости обозначается через Σx1²x2. Подобным же образом С. функции от x1, x2, x3 и х4

Σx1²x2² = x1²x2² + x1²x3² + x1²x4² + x2²x3² + x2²x4² + x3²x4².

С. функции называются элементарными, если каждая из переменных входит только в первой степени. В случае n переменных все элементарные С. функции суть

Σx1 = с1, Σx1x2 = c2, Σx1x2x3 = c3,..., х1x2...xn = сn.

Здесь введены буквы c1, c2,..., сn для обозначения этих функций.

Если x1, x2,..., xn корни уравнения f(x) = xⁿ + p1x^n—1 + p2x^n—2 +... + pn—1x + Pn = 0, то

c1 = —p1, c2 = p2, c3 = —p3,..., cn =(—1)ⁿpn.

Всякая целая С. функция от x1, x2,..., хn есть целая функция от с1, c2,..., сn.

Вычислить С. функцию значит выразить ее через элементарные С. функции. Для вычисления С. функции. Sm = Σx1^m служат следующие формулы Ньютона

s1 — с1 = 0

s2 — c1s1 + 2с2 =0

s3 — c1s2 + c2s1 — 3c3 = 0

sn — с1sn—1 + c2sn—2 —... + (—1)ⁿncⁿ = 0

sn+k — c1sn+k—1 + c2sn+k—2 —.... . + (—1)ⁿcnsk = 0.

Для вычисления С. функции более сложного вида могут служить формулы

Σx1^αx2^α = 1/2[(sα)² — s2α]

Σx1^αx2^β = sαsβ — sα+β, α не = β

Σx1^αx2^αx3^α = 1/6[sα³ — 3s2αsα + 2s3α]

Σx1^αx2^αx3^β = 1/2(sα²sβ — s2αsβ — 2sα+βsα + 2s2α+β

Σx1^βx2^βx3^γ = sαsβsγ — sα+βsγ — sα+γsβ — sβ+γsα + 2sα+β+γ.

Здесь числа α, β и γ различны между собой. В курсах высшей алгебры Serret, Salmon, Weber и др. можно найти различные приемы для вычисления С. функций. При помощи С. функций решаются различные вопросы: рациональные функции от корня уравнения приводятся к целому виду; составляется уравнение, которому удовлетворяет данная функция от корней; исключаются переменные из системы уравнений и т. д.

Д. С.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон

1890—1907