Большая Советская энциклопедия - чисел теория

наука о целых числах. Понятие целого числа (См. Число), а также арифметических операций над числами известно с древних времён и является одной из первых математических абстракций.

Особое место среди целых чисел, т. е. чисел..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3,..., занимают натуральные числа — целые положительные числа 1, 2, 3,...— их свойства и операции над ними. Все натуральные числа, бо́льшие единицы, распадаются на 2 класса: к 1-му классу относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, именно единицу и самого себя, ко 2-му — все остальные. Числа 1-го класса стали называть простыми, а 2-го — составными. Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучались Евклидом (3 в. до н. э.). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает: на первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню — 25, т. е. 25%, на тысячу — 168, т. е. ≈ 17%, на миллион — 78 498, т. е. ≈ 8%, и т.д., однако их бесконечно много (Евклид).

Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (т. н. простые близнецы), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.

Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причём каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Т. о., простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда. Первыми задачами о простых числах были такие: как часто они расположены в натуральном ряде и как далеко они отстоят друг от друга. Изучение распределения простых чисел привело к созданию алгоритма (правила), позволяющего получать таблицы простых чисел. Таким алгоритмом является Эратосфена решето (3 в. до н. э.). Евклид в «Началах» указал способ нахождения общего наибольшего делителя двух чисел (Евклида алгоритм), следствием которого является теорема об однозначном разложении натуральных чисел на простые сомножители.

Вопрос о целочисленных решениях различного вида уравнений также восходит к древности. Простейшим уравнением в целых числах является линейное уравнение аХ + bY = с, где a, b и с — попарно взаимно простые целые числа. С помощью алгоритма Евклида находится решение уравнения аХ + bY = 1, из которого затем получаются все решения первоначального уравнения. Другим уравнением в целых числах является уравнение X² + Y² = Z² (решение Х = 3, Y = 4, Z = 5 связано с именем Пифагора), все целочисленные решения которого выписаны в «Началах» (кн. X, предложение 29) X = r²—q², Y = 2rq, Z = r²+q², где r и q — целые числа. Евклиду было известно также и уравнение аХ² +1= Y², названное впоследствии Пелля уравнением. В «Началах» (кн. X, предложение 9) Евклид показал, как находить все его решения, исходя из наименьшего, для случая а = 2. Систематическое изложение теории известных к тому времени уравнений в целых числах дано Диофантом в его «Арифметике» (середина 3 в. н. э.). Эта книга сыграла большую роль в дальнейшем развитии той части Ч. т., которая занимается решением уравнений в целых числах, называемых теперь диофантовыми уравнениями (См. Диофантовы уравнения).

Следующий этап в развитии Ч. т. связан с именем П. Ферма, которому принадлежит ряд выдающихся открытий в теории диофантовых уравнений и в теории, связанной с делимостью целых чисел. Им была выдвинута гипотеза, получившая название Ферма великая теорема, и доказана теорема, известная как Ферма малая теорема, которая играет важную роль в теории сравнений (См. Сравнение) и её позднейших обобщениях. Продолжая исследования Ферма по теории делимости чисел, Л. Эйлер доказал теорему, обобщающую малую теорему Ферма. Ему принадлежат также и первые доказательства великой теоремы Ферма для показателя n = 3.

К началу 18 в. в науке о целых числах накопилось много фактов, позволивших создать стройные теории и общие методы решения задач Ч. т.

Л. Эйлер был первым из математиков, кто стал создавать общие методы и применять др. разделы математики, в частности математический анализ, к решению задач Ч. т. Исследуя вопрос о числе решений линейных уравнений вида

a1X1 +... + апХп = N,

где a1,..., an — натуральные числа, в целых неотрицательных числах X1,..., Xn, Л. Эйлер построил производящую функцию Ф (z) от переменной z, коэффициенты которой при разложении по степеням z равняются числу решений указанного уравнения. Функция Ф (z) определяется как формальное произведение рядов

1 получается аналог тождества Эйлера:

¹/2ln2, b < 2ln2, и утверждение, что если существует предел

при Х → ∞, то этот предел равен 1. П. Л. Чебышеву принадлежит и другое открытие в теории простых чисел. С помощью вычислений было замечено, что в интервале (X, 2Х), Х ≥ 2, лежит простое число; эту гипотезу назвали постулатом Бертрана. П. Л. Чебышев доказал (1852) эту гипотезу, причём он получил более точный результат, уменьшив длину рассматриваемого интервала. Тем самым вместе с вопросом о простых близнецах, т. е. о наименьшем значении разности pn+1 — рп, возник и стал решаться вопрос об оценке сверху этой разности.

Изучение неопределённых уравнений, и в первую очередь уравнения Ферма, привело к созданию нового раздела Ч. т. — теории алгебраических чисел. Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, пришёл к равенству

где ai — корни n-й степени из единицы. Рассматривая числа вида z + aiy, где z и у — целые, как «новые целые числа», Э. Куммер построил арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного ai, т. е. множества чисел, которое получается из ai путём применения к нему всех четырёх арифметических операций. Если бы в таком поле выполнялась теорема о единственности разложения целых чисел на простые сомножители, то тогда записанное выше равенство давало бы противоречие. Однако это не всегда так. Э. Куммер, чтобы сохранить справедливость этой теоремы, ввёл т. н. идеальные множители. Возник ряд проблем, решение которых привело к алгебраической теории чисел с большим количеством новых понятий и результатов.

Вместе с изучением свойств целых чисел возникло и стало развиваться новое направление Ч. т., изучающее арифметику числовой прямой. Уже Л. Эйлер отмечал, что корни квадратные из целых чисел и логарифмы целых чисел принципиально отличаются друг от друга. Последнее обстоятельство обрело точную математическую формулировку после работ Ж. Лиувилля (1844), который ввёл понятия алгебраических чисел (См. Алгебраическое число) и трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число). Оказывается, алгебраические числа «плохо» приближаются рациональными дробями. Ж. Лиувилль доказал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n, то, приближаясь к нему дробями вида P/Q, где Р и Q — целые взаимно простые числа, подойти существенно ближе чем Q^―n к нему нельзя (теорема Лиувилля). Отсюда сразу следует существование бесконечного числа неалгебраич. чисел, которые стали называть трансцендентными. Например, таким будет число

Однако вопрос об алгебраичности и трансцендентности конкретных чисел труден, и первыми были такие вопросы о классических постоянных π и е. В конце 19 — начале 20 вв. Ч. т. продолжала развиваться по многим направлениям, причём для решения отдельных задач создавались общие методы, применимые к широкому кругу задач, иногда далеко удалённых от первоначальных. Часто созданные здесь методы и понятия дают толчок развитию новых направлений.

Теория алгебраических чисел разделилась на два направления: одно изучает конкретные числа, доказывая их трансцендентность, другое изучает степень приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В первом направлении общие методы были созданы Ш. Эрмитом (1873), доказавшим трансцендентность числа e, и немецким математиком Ф. Линдеманом (1882), доказавшим трансцендентность числа π и тем самым решившим задачу о квадратуре круга (См. Квадратура круга). Во втором — А. Туэ (1909) был предложен метод, с помощью которого он доказал, что в неравенстве Лиувилля к алгебраическому числу нельзя подойти существенно ближе чем Q^―n/2. Следствием этого явилась теорема Туэ о конечности числа решений в целых числах х и у уравнения

a0xⁿ + a1x^n―1y+... + an―1xy^n―1+ anyⁿ =А,

где a0, a1,..., an, А — целые числа, n ≥ 3.

Дальнейшее изучение простых чисел привело к новому методу в Ч. т., связанному с функцией ξ (s). Б. Риман доказал, что дзета-функция ξ (s) аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного, является аналитической в каждой точке плоскости, за исключением s = 1, где она имеет полюс первого порядка с вычетом, равным 1, удовлетворяет функциональному уравнению ξ(s)= ξ(1―s), где

Г (s) — гамма-функция, и имеет бесконечно много нулей в полосе 0 ≤ Res = 1 (эти нули называют нетривиальными, а полосу — критической). Он установил тесную связь между нетривиальными нулями ξ (s) и асимптотическим поведением π(х). Изучение асимптотической формулы для функции Чебышева

где Λ(n) = lnp, если n = р^к Λ(n)= 0, если n ≠ p^k, эквивалентно такой же задаче для функции π(х). Функция Ψ(х) может быть выражена через интеграл от производящей функции — ξ'(s)/ ξ(s):

Б. Риман высказал гипотезу, что все нетривиальные нули ξ (s) лежат на прямой Res = ¹/2, из чего следует, что

ψ(x)=x + O (