Большая Советская энциклопедия - потенциал (математич. физич.)

Потенциал, потенциальная функция, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (электрическое, гравитационное и т.п.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и т.п.). В электростатическое поле П. вводится как вспомогательная функция, пространственные производные которой ‒ компоненты напряжённости электрического поля в данной точке; в гидродинамике ‒ компоненты скорости в данной точке и т.п. При этом П. в ряде случаев имеет и др. важный физический смысл. Так, в электростатическом поле он численно равен энергии, необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность (с обратным знаком).

В общем случае П. векторного поля а (х, у, z) ‒ скалярная функция u (х, у, z), такая, что а = grad u, т. е. , , , где ax, ay, az; ‒ компоненты поля a в системе декартовых координат Oxyz. Если такую функцию можно ввести, то векторное поле а называют потенциальным. Иногда П. называют функцию U = ‒u (например, в электростатике). П. векторного поля а определяется не однозначно, а с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому при изучении потенциального поля представляют интерес лишь разности П. в различных точках поля. Уравнение u (х, у, z) = с геометрически представляет поверхность, во всех точках которой П. имеет одинаковую величину; такие поверхности называют поверхностями уровня, или эквипотенциальными поверхностями.

Для поля тяготения, образованного помещенной в точку A (x, h, x) точечной массой m, П. (ньютонов П.) имеет в точке Р (х, у, z) вид:

u (х, у, z) = Gm/r,═══(1)

где , G ‒ постоянная тяготения. При наложении полей их П. алгебраически складываются. Если поле тяготения обусловлено некоторой массой плотности r(x, h, x), занимающей объём Т, то его можно рассматривать как результат наложения элементарных полей, образованных бесконечно малыми телами массы rdxdhdx. Ньютонов П. такого поля представляется интегралом

.═══(2)

П. u (х, у, z) ‒ непрерывная функция во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка; вне тела объёма Т функция u (х, у, z) удовлетворяет Лапласа уравнению, внутри ‒ Пуассона уравнению

Если притягивающие массы распределены с плотностью rпов по поверхности S (простой слой), то П. образованного ими поля выражается интегралом

.═══(3)

П. простого слоя u(x, у, z) ‒ непрерывная во всём пространстве функция; при пересечении поверхности S нормальная производная функции w(х, у, z) испытывает разрыв, равный 4pG/rпов Неограниченно сближая две поверхности, на которых расположены простые слои с плотностями rпов и ‒rпов, и одновременно увеличивая rпов до бесконечности, но так, чтобы был конечным предел = m, где n ‒ нормальное расстояние между поверхностями, приходят к понятию П. двойного слоя:

══(4)

П. двойного слоя w(х, у, z) ‒ непрерывная функция во всём пространстве вне S; при пересечении поверхности S функция w(х, у, z) испытывает разрыв, равный 4pGm. Функции u(х, у, z) и w(х, у, z) удовлетворяют уравнению Лапласа.

Если тело объёма Т ‒ бесконечный цилиндр с поперечным сечением D и плотность r вещества цилиндра постоянна вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (2) приводит к понятию логарифмического потенциала:

u (х, у) = .═══(5)

В виде суммы П. простого и двойного слоев может быть представлена любая гармоническая функция; этим объясняется важность теории П.

Лит.: Гюнтер Н. М., Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики, М., 1953; Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М. ‒ Л., 1946; Тамм И. Е., Основы теории электричества, 7 изд., М., 1957; Идельсон Н. И., Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли и геофизике, 2 изд., Л. ‒ М., 1936.

В. И. Битюцков.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

1969—1978