Большая Советская энциклопедия - поверхностей теория

раздел дифференциальной геометрии, в котором изучаются свойства поверхностей (см. Дифференциальная геометрия, Поверхность). В классической П. т. рассматриваются свойства поверхностей, неизменные при движениях. Одна из основных задач классической П. т. — задача измерений на поверхности. Совокупность фактов, получаемых при помощи измерений на поверхности, составляет внутреннюю геометрию (См. Внутренняя геометрия) поверхности. К внутренней геометрии поверхности относятся такие понятия, как длина линии, угол между двумя направлениями, площадь области, а также Геодезические линии, геодезическая кривизна линии и др. Внутреннюю геометрию определяет первая основная квадратичная форма поверхности

ds ²= Edu² + 2Fdudυ + Gdυ², (1)

[здесь Е = r²u, F = ru rυ, G = r²υ, r = r (u, υ) радиус-вектор переменной точки поверхности, u, υ — её криволинейные координаты], выражающая квадрат дифференциала дуги линии на поверхности. Именно, если известны функции Е = E (u, υ), F = F (u, υ), G = G (u, υ), то, зная внутренние уравнения линии u = u (t), υ = υ(t) и интегрируя ds, можно определить длину этой линии; кроме того, существуют формулы, которые при данных Е, F, G выражают угол между двумя линиями и площадь области по внутренним уравнениям этих линий и по внутреннему уравнению контура области. Изучение пространственного строения окрестности точки на поверхности производится при помощи второй основной квадратичной формы поверхности

2h = Ldu² + 2Mdudυ + Ndυ², (2)

здесь L = ruиn, М = ruυn, N = rυυn,

— единичный вектор нормали к поверхности. Величина h с точностью до малых более высокого порядка относительно du, dυ равна расстоянию от точки М’ поверхности с координатами u + du, υ + dυ до касательной плоскости γ в точке М с координатами u, υ, причём расстояние берётся со знаком + или — в зависимости от того, с какой стороны от у расположена точка М'. Если форма (2) знакоопределённая, то поверхность в достаточно малой окрестности точки М располагается по одну сторону от касательной плоскости γ, и в этом случае точка М поверхности называется эллиптической (рис. 1). Если форма (2) знакопеременная, то поверхность в окрестности точки М располагается по разные стороны от плоскости γ, и точка М тогда называется гиперболической (рис. 2). Если форма (2) знакоопределённая, но принимает нулевые значения (при не равных одновременно нулю du и dυ), то точка М называется параболической (на рис. 3 показан один из примеров строения поверхности в окрестности параболической точки).

Более точная характеристика пространственной формы поверхности может быть получена с помощью исследования геометрических свойств линий на поверхности. Пусть М — некоторая точка поверхности S и n — единичный вектор нормали к поверхности в М. Линия (L) пересечения S с плоскостью, проходящей через n в направлении