Физическая энциклопедия - параметрический резонанс
Параметрический резонанс
1), то в среднем за период над системой совершается работа и, следовательно, полная энергия и амплитуда колебаний будут монотонно нарастать. Раскачка колебаний возможна при изменении С или L по любому периодич. закону с периодом Тн или частотой wн, определяемыми соотношениями: где n целое число. Наиболее эфф. раскачка имеет место при n=1, когда частота накачки wн равна частоте колебаний Wэ и Wм в системе w0.
Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соотношения (1), но и в нек-рых конечных интервалах значений wн вблизи w0 (в зонах неустойчивости), ширина зон тем больше, чем сильнее изменяются параметры С и L. Изменение параметра, напр. ёмкости С, характеризуют величиной m=(Cмакс-Cмин)/(Cмакс+Cмин) наз. глубиной изменения параметра (рис.
2). Рис. 2. Области значений m, в к-рых возможен параметрич. резонанс; w0 частота собств. колебаний, wн частота накачки (изменения параметра). П. р. приводит к нарастанию малых нач. возмущений, напр. Неизбежных во всякой системе флуктуации, среди к-рых всегда найдётся составляющая с подходящей фазой по отношению к фазе изменения параметров, т. е. к самовозбуждению колебаний. В отсутствии потерь энергии самовозбуждение наступает при сколь угодно малом изменении параметров. Если же в системе имеются потери (напр., в контуре присутствует сопротивление Л), то самовозбуждение происходит только при достаточно больших изменениях С или L, когда параметрич. накачка энергии превосходит потери.Зоны неустойчивости при этом соответственно уменьшаются или даже исчезают совсем (при больших потерях). Нарастание колебаний при П. р. не происходит беспредельно, а ограничивается при достаточно больших амплитудах разл. нелинейными эффектами. Напр.: зависимость сопротивления Л от тока в контуре может приводить к увеличению потерь по мере возрастания амплитуды колебаний, а зависимость ёмкости от напряжения на ней к изменению периода собств.
колебаний Т0 и в результате к увеличению расстройки между значениями wн и w0/2n. Равновесие наступает тогда, когда параметрич. накачка энергии в среднем за период компенсируется джоулевыми потерями (см. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ И УСИЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ). Рис. 3. а устройство маятника с переменной длиной l подвеса; б схема движения тела маятника за один период.
Пример механич. системы, в к-рой возможен П. р.,маятник в виде груза массы т, подвешенного на нити, длину l к-рой можно изменять (рис. 3). Маятник с неподвижной точкой подвеса совершает собств. колебания с частотой w0=?G/L, причём сила натяжения нити (равная по величине сумме центробежной силы и составляющей силы тяжести, направленной вдоль нити) максимальна в нижнем положении груза и минимальна в крайних.Поэтому если уменьшать l в нижнем и увеличивать в крайних положениях (при этом снова выполняется соотношение (1)), то работа внеш. силы, совершаемая в среднем за период, оказывается положительной и колебания могут раскачиваться. На П. р. основано самораскачивание на качелях, когда эфф. длина маятника периодически изменяется при приседаниях и вставаниях качающегося.
П. р. учитывается в небесной механике при расчёте возмущений планетных орбит, вызванных влиянием др. планет. В колебат. системах с неск. степенями свободы (напр., в системе из двух связанных контуров, маятников и др.) возможны нормальные колебания (моды) с разл. частотами w1, w2. Поэтому колебания энергии, запасённой в к.-л. реактивном элементе, содержат не только составляющие с частотами 2w1, 2w2, но и с частотами, равными суммам и разностям разл.
нормальных частот. Соответственно нарастание колебаний здесь возможно как при выполнении условия (1) для любой из норм. частот, так и, напр., при изменении параметра с суммарной частотой: wн =w1+w2. (2) П. р. приводит к самовозбуждению обоих норм. колебаний с определ. соотношением фаз. Резонансная связь мод возможна также при wн=w1-w2, однако при этом вместо самовозбуждения происходит лишь периодич.
перекачка энергии между модами. Соотношение (2) выражает закон сохранения энергии при распаде кванта «накачки» с энергией С›w на два кванта: С›w1 и С›w2. Отсюда следует также, что мощность Рн, поступающая в колебат. систему на частоте wн, и мощности P1,P2 потребляемые на частотах w1 и w2, пропорц. соответствующим частотам (частный случай т. н. соотношений Мэнли Роу): Pн/wн=P1/w1=P2/w2 (3) В колебат. системах с распределёнными параметрами, обладающих бесконечным числом степеней свободы, также возможно возбуждение норм. колебаний в результате П. р. Классич. пример опыт Мельде (1859), в к-ром наблюдалось возбуждение поперечных колебаний (стоячих волн) в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона, колебания к-рого периодически меняют натяжение струны (рис. 4) с частотой, вдвое большей частоты собств. поперечных колебаний. П. р. может приводить к раскачке изгибных колебаний вращающихся валов. Др. пример опыт Фарадея (1831), в к-ром вертикальные колебания сосуда с водой приводят к возбуждению стоячей поверхностной волны с удвоенным периодом.Рис. 4. Параметрич. возбуждение колебаний струны. Существенная особенность П. р. в системах с распределёнными параметрами состоит в том, что его эффективность зависит от соотношения между законом изменения параметров системы в пр-ве и пространств. структурой колебаний (волн). Напр., если накачка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой wн и волновым вектором kн, то возбуждение пары норм.
волн с частотами w1, w2 и волн. векторами k1, k2 осуществляется, если выполняются условия П. р. как во времени, так и в пр-ве: wн=w1+w1; kн=k1+k2. (4) На квант. языке эти условия, обобщающие (2), означают, что при распаде кванта накачки сохраняются как энергия, так и импульс (С›k). Нарастание амплитуд волн во времени и пр-ве (распадная неустойчивость) также ограничивается нелинейными эффектами: если значит.часть энергии накачки израсходована на возбуждение этих волн, то возможен обратный процесс рост энергии накачки за счёт ослабления волн на частотах w1, w2; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически. Параметрические и нелинейные резонансные вз-ствия волн характерны, напр., для разл. типов волн в плазме, мощных световых волн (см.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕРАТОР СВЕТА), волн в электронных пучках и др. волн. процессов. .