Философский словарь - философия математики

отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Филос. проблемы математики можно разделить на две основные группы: онтологические и эпистемологические. Абстрактный характер объектов математики, особая убедительность и неопровержимость ее доказательств еще в антич. эпоху привлекли внимание философов к анализу особенностей предмета и метода математики. Тот факт, что ее понятия и суждения независимы от эмпирического опыта, а утверждения обладают весьма высокой степенью достоверности, уже давно стал аргументом в пользу существования независимых от опыта суждений a priori, а математическое знание стало представляться образцом чисто логического развития науки. В связи с этим и возникает основная онтологическая проблема отношение математики к реальному миру: что она в нем изучает и какова природа ее объектов?

Одной из первых попыток решения этой проблемы стала концепция математического реализма, которую часто называют также платонизмом. Она постулирует, что математические объекты являются абстрактными, вечными и причинно не связанными с материальными предметами и эмпирическим опытом. Такой взгляд может объяснить, почему математика независима от опыта, а ее истины имеют достоверный характер. Однако как только возникает вопрос о ее приложении к естествознанию и др. конкретным наукам, то ни платонизм, ни позднее возникший реализм не могут удовлетворительно ответить на него.

Близкой по онтологии к реализму или даже его разновидностью является концепция структурализма, рассматривающая математику как науку об абстрактных структурах. С этой т.зр. арифметика, напр., не является наукой о таких абстрактных объектах, как числа, а скорей о теоретико-числовых структурах. Наиболее настойчиво структурный взгляд пропагандировали математики, выступавшие под псевдонимом "Н. Бурбаки". Они поставили перед собой амбициозную цель: изложить все математические дисциплины с помощью аксиоматического метода и т.о. представить все существующее математическое знание в виде грандиозной аксиоматической структуры. В качестве основных, или порождающих, структур они выделяют алгебраические, топологические и структуры порядка, путем комбинации которых образуются др. структуры. По своей онтологической природе структуры являются априорными конструкциями, и их совпадение с эмпирической реальностью чисто случайно. "В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм" (Н. Бурбаки).

Альтернативными реализму являются субъективные концепции, согласно которым содержание математики создается мышлением субъекта. Крайней формой такого субъективизма является убеждение, что существует столько математик, сколько самих математиков, и что даже каждый человек может создавать свою математику. Однако поскольку математическое знание и результаты его применения не зависят от сознания и воли отдельного субъекта, большинство сторонников субъективного подхода вынуждены признать если не объективность, то интерсубъективность математики, т.е. независимость ее результатов от индивидуального сознания. Для оправдания такой интерсубъективности чаще всего обращаются к философии Канта, которая обосновывает общезначимый и необходимый характер математических суждений тем, что объявляет их априорными формами познания, изначально присущими человеку. На эту кантианскую идею опирается и интуиционистская концепция математики, выдвинутая Л.Э.Я. Брауэром: "...Главным в математической деятельности являются умственные построения, осуществляемые на основе непосредственной интуиции, а не язык или логика, посредством которых выражаются результаты этой деятельности". Интуиционисты считают математические объекты существующими тогда, когда они построены, а доказательства фактически проведены.

Др. альтернативой реализму являются представления о математике и ее объекте как свободных от к.-л. онтологии. Эти представления варьируются: одни рассматривают математику как особый метод, применимый во многих науках, но не имеющий ни своего содержания, ни собственного предмета исследования, др. предлагают говорить о математических объектах в модальных терминах, т.е. вместо того, чтобы считать их существующими, заявляют о возможности их существования, третьи вообще объявляют их фикциями, и т.п. Такого рода инструменталистские взгляды не могут объяснить, почему возможные, а тем более фиктивные понятия математики могут применяться в содержательных рассуждениях естествознания, технических и социально-гуманитарных наук.

Широкое распространение получил конструктивный подход к математике, сторонники которого, как и интуиционисты, отрицают законность применения в ней актуальной, ставшей бесконечности и вновь возвращаются к бесконечности потенциальной, становящейся. Конструктивисты опираются на более точные определения конструктивных объектов и операций, а также фундаментального понятия алгоритма, служащего основой для построения конструктивной математики. Выдающийся вклад в развитие этой математики внесла отечественная школа ученых во главе с А.А. Марковым. В отличие от интуиционистов, которые рассматривают математику как чисто умозрительную деятельность, связанную с построением математических объектов на "базисной интуиции интеллекта, без обращения к непосредственной применимости" (Брауэр), Марков указывает, что умозрительный характер имеют не сами построения, а наши рассуждения о них, в особенности когда начинают использоваться абстракции.

Эпистемологические проблемы математики тесно связаны с онтологическими, т.к. от понимания ее объектов и предмета исследования зависит оценка методов ее познания. Сторонники платонизма, или реализма, рассматривая абстрактные объекты математики как априорные, неизменные и не связанные с материальным миром, считают основным средством познания интеллектуальную интуицию, не подверженную случайностям опыта. Поскольку при этом математика оказывается изолированной от реального мира и конкретных наук, то некоторые реалисты начинают сближать интеллектуальную интуицию с чувственной.

Структуралисты, особенно эмпирического толка, рассматривают математические структуры как некоторые абстрактные схемы, приближенно верно описывающие свойства и отношения реальных систем, от которых можно отвлечься в математическом исследовании. Хотя сами структуры являются абстрактными, знание о них может быть получено путем анализа реальных систем, в которых они представлены. Такой подход наталкивается, однако, на серьезные трудности, когда приходится иметь дело с наиболее глубокими для математики понятиями, как, напр., "бесконечность", которая не дана в эмпирическом опыте.

Допуская возможность создания таких понятий мышлением субъекта, интуиционисты, на первый взгляд, оправдывают их существование в математике, но не объясняют, как чисто субъективные создания мысли оказываются применимыми для познания реальной действительности. Более адекватно объясняют процесс создания таких далеких от эмпирической действительности понятий, как "бесконечность", сторонники конструктивного направления. Марков убедительно показывает, что подобные понятия создаются с помощью абстракции потенциальной осуществимости построения математических объектов: "Абстракция потенциальной осуществимости позволяет нам рассуждать о сколь угодно длинных конструктивных процессах и сколь угодно больших конструктивных объектах. Их осуществимость потенциальная: они были бы осуществимы практически, располагай мы достаточным пространством, временем и материалом". На основе этой абстракции возникает понятие "потенциальная бесконечность", которое интуиционисты и конструктивисты противопоставляют понятию "актуальная бесконечность" сторонников платонизма и математического реализма, оказывающемуся источником возникновения парадоксов в канторовской теории множеств.

Различие онтологических и эпистемологических подходов в Ф. м. явно выражается и в решении специальных проблем обоснования математики сторонниками разных его направлений. Так, напр., представители платонизма признают существование актуальной бесконечности в математике и поэтому допускают применение в ней закона исключенного третьего и "чистых" (косвенных) доказательств существования. Их оппоненты интуиционисты и конструктивисты решительно возражают против этого, поскольку они отвергают актуальную бесконечность и признают лишь бесконечность потенциальную, к которой неприменим закон исключенного третьего, а доказательствами считаются только конструктивные доказательства, где искомый объект либо фактически, либо потенциально может быть построен.

В математической практике объективность и необходимость полученных результатов обычно обосновывается применимостью их в естествознании и др. конкретных науках, ближе стоящих к эмпирической реальности.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики М., 1963; Марков А.А. О логике конструктивной математики М., 1972; Он же. Конструктивная математика // Математический энциклопедический словарь. М., 1983; Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1. Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam, 1975.

Г.И. Рузавин