(1770 — 1831) — немецкий
философ, создатель философской системы, являющейся не только завершающим звеном в развитии немецкой трансцендентально-критической философии, но и одной из последних всеобъемлющих систем классического новоевропейского рационализма. Г. разработал теорию
диалектики на основе философии абсолютного (объективного) идеализма. С 1788 по 1793 — студент Тюбингенского теологического института (вместе с Шеллингом и Гёльдерлином), с 1794 — домашний учитель (Берн, Франкфурт), с 1801 по 1806 — преподаватель Йенского университета, в 1808 — 1816 — директор гимназии в Нюрнберге, в 1816 — 1818 — профессор Гейдельбергского, а с 1818 и до конца жизни — Берлинского университетов.
Становление философских воззрений Г. начинается с усвоения античного классического наследия. Греческий
мир, его духовная
культура,
философия станут для него навсегда своеобразным духовным отечеством, а в государстве древних эллинов Г. найдет искомый
идеал нравственноэстетического состояния общества. Г. глубоко изучает и современное ему
общество — его политику, экономику и культуру, близко знакомится с литературой Просвещения Германии, Франции и Англии. Постепенно все научные дисциплины того времени входят в орбиту его интересов. Именно благодаря этой энциклопедичности и присущему ему искусству систематизации Г. сумел переработать и обобщить в рамках своего учения чуть
ли не весь массив современного ему человеческого знания. Хотя в первую очередь его помыслы всегда были связаны с историческим знанием, проблемами истории человеческого духа. После довольно длительного периода переосмысления достижений современной ему философии Г. начинает самостоятельную академическую
деятельность в Йене: вначале, как и Шеллинг, в качестве последователя критической философии Канта и Фихте, затем — как единомышленник Шеллинга, и наконец, после поворота последнего в сторону теософии, Г. порывает с системой абсолютного тождества и приступает к разработке собственного оригинального учения. Об этом разрыве Г. впервые заявил в "Феноменологии духа". Однако осознание своей задачи и формулировка ее основной компоненты в виде идеи "абсолютного духа" — как бесконечно законченного в себе бытия, открывающего себя в процессе познания, — были осуществлены еще в более ранний, франкфуртский период творчества. В это
время Г. наметил в общих чертах трехчленное
деление своей философской системы: 1)
абсолютный дух, как он существует "в себе", или "идея в себе", составляющая
предмет логики; 2) дух в своем "инобытии", как он является чем-то внешним "для себя", в качестве природы (натурфилософия Г.); 3) дух, достигший себя "в себе и для себя" и завершивший свое необходимое
развитие (философия духа). Каждая из этих частей подразделяется далее по триадическому принципу диалектики. Эта
схема будет реализована, однако, в работах более позднего периода. Первым крупным произведением, ставшим своеобразным введением в систему Г., явилась его "Феноменология духа". Задуманная как первая часть всего учения, она и вышла в свет под названием "Система науки. Первая часть.
Феноменология духа", оставшись, однако, не только первой, но и единственной реализованной частью данного замысла, так как последующие на свет просто не появились из-за изменений в планах Г. относительно самой структуры его философии. Отсюда и своеобразное место этой работы в системе Г.: "Феноменология духа" — это прежде всего учение о тех явлениях, которые должно пережить
знание, чтобы подняться от обыденного сознания до философии. Это возвышение сознания, понимаемое вначале как только гносеологическая
необходимость, вынуждающая
мышление подниматься со ступени на
ступень до самоуспокоения в философской точке зрения, рассматривается Г. в то же время и как ход развития, проходимый с психологической необходимостью каждым индивидуальным сознанием, как несовершенное обнаружение мирового духа. Более того, изображаемый в "Феноменологии духа" процесс развития форм индивидуального сознания повторяется, по Г., и в духовном развитии всего человеческого рода; развитии, в котором постепенно выявляются творческие силы мирового духа, воплощающегося в последовательно сменяющие друг друга образцы культуры. Духовное развитие индивида воспроизводит все ступени самопознания мирового духа, начиная с самого примитивного предметного сознания и кончая абсолютным знанием, т.е. знанием всех форм и законов, которые управляют изнутри процессом духовного развития. В основе этой диалектики развития духа лежит открытая Г. схема раздвоения последнего на
сознание (понятие) и его предмет. Этот разрыв преодолевается затем на каждой ступени развития знания, достигая, однако, полного совпадения только на этапе абсолютного знания. Целью данной гегелевской работы, в которой слышатся почти все последующие мотивы его философии, и явился показ того, как из множества форм, стадий и образований знания должно развиться философское
познание в качестве самопостижения абсолютного духа. Отсюда и стремление Г. воссоздать всю философию из связи исторического развития человеческого духа, который, в свою очередь, рассматривается им как пришедший к самому себе мировой дух. Развитие человеческого духа становится сознательным самопостижением мирового духа, а потому
сущность мира вещей должна быть понята из того процесса, который прошел человеческий дух, чтобы постичь собственную организацию, тождественную организации Вселенной. Уже в "Феноменологии духа" Г. пришел к выводу о том, что философия является самосознанием общего культурного развития человеческого родового разума, в котором она сама в то же время видит
самосознание абсолютного духа, развивающегося в виде мира. С 1812 Г. резко меняет структуру своей философии, начиная ее с логики. Сравнительно кратким и сжатым изложением этой системы в зрелый период его творчества стала опубликованная в 1817 "Энциклопедия философских наук". А еще раньше в 1812 и 1816 вышли в свет два тома "Науки логики" (так называемой Большой логики, в отличие от Малой логики, изложенной в "Энциклопедии..."), в которых он изложил первую, наиболее содержательную часть своей системы — логику. Задачи гегелевской логики самым непосредственным образом были определены результатами, полученными им в "Феноменологии духа", где он снял различие между субъективным и объективным, показав, что
субъект оказался единственным объектом, а
объект, по сути своей, единственным субъектом. "Феноменология духа" как бы уравняла субъективную сторону чистого мышления (как деятельность в форме понятий) с объективной стороной (понимаемой как сущность духа).
Логика становится у Г., таким образом, наукой о чистом мышлении в элементе самого чистого мышления. Будучи наукой о сущности духа, а следовательно и вещей, она соединила в себе
характер логики с чертами онтологии (или метафизики), став, таким образом, содержательным, а не только формально-логическим знанием, как это было до Г. Он
сам назовет ее "царством теней действительности", акцентируя тем самым
момент порождения схем всякой реальной жизни в процессе движения абстрактного чистого мышления, а эволюцию этого превращения понятий Г. представит как изображение всеобщего мирового процесса, формы которого должны вначале пройти через сферу чистого мышления (т.е. элемент абстракции). Исходя из универсальной схемы творческой деятельности мирового духа, получившей у Г. название абсолютной идеи, его логика предстала как
идея в себе, как самосознание этой идеи, которая в своем всеобщем содержании раскрывается в виде определенной системы категорий, начиная от самых общих и бедных определений —
бытие, небытие, наличное бытие,
качество,
количество,
мера и т.д. и кончая более конкретными, более определенными понятиями —
действительность, химизм,
организм и т.д. Вся эта сложная
система понятий последовательно развертывается посредством диалектического движения вперед, соединяя жесткой, необходимой связью все три части логики — учение о бытии, учение о сущности и учение о понятии, которые вместе являют собой "возвышение субстанции до субъекта". Специфической чертой гегелевских категорий по сравнению с кантовскими является то, что в отличие от последнего, сделавшего их синтезирующими формами деятельности человеческого рассудка, Г. представил их скорее в качестве образований самой объективной действительности, причем это относится и к тем случаям, когда они совпадают с формами формальной логики (например, в учении о понятии). Содержанием всей последующей философии Г., опирающейся на систему его логики, становится превращение абсолютной идеи в абсолютный дух. Промежуточными членами, через которые совершается этот процесс, служат, по мысли Г.,
природа и конечный дух, развивающийся в форме субъективного духа, объективного духа и всемирно-исторического духа. Эту совокупность природы и духа Г. назвал мировым процессом, или миром, переход к которому от абсолютной логической идеи, как, впрочем, и от логики к философии природы и философии духа, является одним из самых трудных мест в его учении. Различие между его абсолютной идеей и природой заключается не в содержании, а в форме существования. Так, природа для Г. — тот же дух (или идея), но в своем инобытии. Иными словами, логическая идея находится здесь уже не в себе, не в элементе чистого мышления, а вне себя. Такой характер природы вытекает из самого понимания Г. духа в качестве развивающейся идеи. Даже достигнув чистой абсолютной истины в процессе своего развития в логике, абсолютная идея объективируется в природу и существует в чуждой ей внешней форме потому, что она не стала пока "субъективностью", духом, или, как пишет сам Г.: "Божественная идея именно и состоит в том, что она решается извести из себя это иное и снова втянуть его в себя, чтобы
стать субъективностью и духом". Абсолютное, таким образом, может познать себя только с помощью человеческого сознания, которым оно, в принципе, не обладает в элементе чистой мысли, а значит, только приняв форму природы и найдя себя в ней в форме сознания. Тот
факт, что вне природы нет и не может быть человеческого сознания, определяет задачи всей гегелевской натурфилософии — второй части его системы.
Цель ее — проследить за постепенным возникновением духа в природе, познать в каждой ступени природы момент идеи и ее развитие в формах природы до тех пор, пока в природе не возникнет сознательная
мысль, которая и узнает себя в ней. В изложении своей натурфилософии Г. по сути целиком следует духу и даже букве своего предшественника — Шеллинга, повторяя его телеологизм. Основные ступени развития природного процесса у Г. составляют: механика, физика и органика. Заканчивается гегелевская
натурфилософия рассмотрением того, в каком отношении стоит органический
индивидуум к роду: из них только последний обладает необходимостью и разумностью; индивид же выступает лишь в роли переходного момента в жизни идеи, обнаруживающейся исключительно в роде. Наконец, третью основную часть гегелевской системы составляет философия духа, в которой нашли свое проявление наиболее значительные результаты всей его философии. Триадическое расчленение предполагает наличие здесь следующих форм развития духа: субъективного (индивидуального), объективного (всеобщего) и абсолютного (божественного) духа. Рассмотрение этих форм духа осуществляется Г. в соответствующих отделах его философии духа, из которых первым выступает
психология в широком смысле этого слова (изучающая психическую
жизнь индивидуума через все ступени его развития вплоть до осознания им его сокровенной сущности в тождестве со всеобщим духом). Следующий отдел — то, что сам Г. назвал "Философией права" ("Основоположения философии права", 1821, и "Философия права") — посвящен рассмотрению объективного духа, под которым он понимает
разум в человеческой родовой жизни, т.е. сверхиндивидуальную
целостность, возвышающуюся над отдельными людьми и проявляющуюся через их различные связи и отношения. Г. пытается понять здесь те формы развития, в которых в действительной человеческой жизни реализует себя
свобода духа. Низшей из этих форм является абстрактное
право, за ним следует
моральность, имеющая дело уже не с чисто внешними, а внутренними формами объективного духа, и, наконец,
нравственность, в которой сущность объективного духа находит свое завершение за счет совпадения его внешней и внутренней форм. Эта ступень, по Г., охватывает собой все те учреждения человеческой жизни, которые способствуют реализации родового всеобщего разума во внешней совместной жизни людей. Здесь, в сфере нравственности, Г. заставляет
объективный дух пройти опять своеобразную триаду "объективирования самого себя" — через семью, гражданское общество и
государство. Идеалом последнего для него служит античное государство эллинов — это, по его словам, "живое произведение искусства", воплотившее в себе жизнь родового разума человечества и все высшие интересы индивидуума. Истинное осуществление идеи государства может иметь место лишь в историческом развитии человечества — т.е. во всемирной истории, представляющей собой полное осуществление объективного духа. Так, философия права у Г. логически переходит и заканчивается философией истории ("Лекции по философии истории", 1837). Рассматривая историю в целом как "прогресс духа в сознании свободы", Г. полагает в качестве основной ее задачи показ того, как в историческом процессе этот мировой дух последовательно развивается в различные формы духов отдельных народов. Каждый период истории характеризуется руководящим положением какого-нибудь отдельного народа, который на этой ступени познал в самом себе
общий дух и, выполнив эту задачу, передал эстафету другому народу. Г. развил здесь идею об исторической закономерности, показав глубинную, необходимую
связь различных этапов исторического процесса, каждый из которых является только одной из форм развития и проявления всеобщего духа. Этот всеобщий дух, отдельные определения содержания которого становятся действительностью в историческом развитии, выраженный в своей целостности и единстве, и является, по Г., абсолютным духом, который, в свою очередь, тоже развивается в трех формах: в виде интуиции в искусстве ("Лекции по эстетике", 1835—1838), представления в религии и понятия — в философии. Соответственно этим формам духа Г. построил свои эстетику, философию религии и то, что справедливо было бы назвать "философией философии", или историю философии. Речь идет именно об истории философии, а не философии вообще, так как свою задачу последняя может выполнить, по мысли Г., только в ее историческом развитии, понимаемом к тому же как необходимый закономерный процесс. Изложенная Г. в его "Лекциях по истории философии" (1833—1836)
концепция историко-философского процесса явила собой одну из первых серьезных попыток создания историко-философской науки. Г. представил историю философии как прогрессирующий процесс развития самосознания человеческого духа, в котором каждая отдельная философская система представляет собой необходимый продукт и, соответственно, необходимую ступень этого развития, а также осознание того общего содержания, которого достиг дух человека на определенной его ступени. Гегелевская трактовка истины — Абсолюта — в качестве развившейся, порождающей в диалектической необходимости все ее отдельные моменты и объединяющей их в конкретном единстве, приводит его к своеобразному выводу относительно его собственной философской системы в качестве заключительного звена такого развития. Именно она, восприняв в себя все моменты истины, выступавшие обособленно и даже в противоречии друг к другу, понимает их как необходимые формы развития и таким образом объединяет в себе все предыдущие философские системы в их целостности. В определенном смысле такая претензия имела под собой реальные основания, так как гегелевская философия по своей всеобъемлющей систематизации явилась своеобразной переработкой всего мыслительного материала истории, сплавившей в одно целое
содержание мыслей своего времени. Все это, однако, было бы невозможно без глубокого, диалектического осмысления этого грандиозного энциклопедического материала. Диалектический
метод буквально пронизывает все стороны гегелевского учения. Согласно Г., диалектический метод, или метод развития, следует понимать как методическое обнаружение и разрешение противоречий, содержащихся в понятиях; а под противоречием он понимал столкновение противоположных определений и разрешение их путем объединения. Главной и постоянной темой его диалектики стала тема единства взаимоисключающих и одновременно взаимно предполагающих друг друга противоположностей, то есть тема противоречия. Оно полагается им как внутренний
импульс развития духа вообще, который шаг за шагом переходит от простого к сложному, от непосредственного к опосредованному, от абстрактного к конкретному, все более полному и истинному результату. Такое прогрессирующее
движение вперед придает процессу мышления характер постепенно восходящего ряда развития. Г. очень глубоко и конкретно трактовал природу самого противоречия. Оно для него не есть простое
отрицание той мысли, которая только что полагалась и утверждалась; это — двойное отрицание (первое отрицание есть обнаружение противоречия, второе — его разрешение), когда исходная
антиномия одновременно и осуществляется и снимается. Иначе говоря, высшая ступень развития включает в себя низшую, последняя же отменяется в ней именно в этом двойственном смысле. Быть отрицаемым, согласно Г., — значит быть одновременно и сохраняемым и возвышаемым. С помощью разработанного им диалектического метода Г. критически переосмыслил все сферы современного ему человеческого знания и культуры, обнаруживая везде на этом пути напряженную диалектику, процесс постоянного отрицания каждого наличного, достигнутого состояния духа последующим, вызревающим в его недрах в виде конкретного, имманентного ему противоречия. [См. Абсолютная идея, "Наука логики" (Гегель), "Феноменология духа" (Гегель), "Философия права" (Гегель), "Энциклопедия философских наук" (Гегель), Немецкая трансцендентально-критическая философия.]
Т.Г. Румянцева
èДЕЛЬ (Godel) Курт (1906 — 1978) — математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества,
èДЕЛЬ (Godel) Курт (1906 — 1978) — математик и логик, член Национальной Академии наук США и Американского философского общества, автор фундаментального открытия ограниченности аксиоматического метода и основополагающих работ в таких направлениях математической логики, как теория моделей, теория доказательств и теория множеств. В 1924 Г. поступил в Университет Вены. Доктор математики (1930). Приват-доцент Университета Вены, член Венского кружка (1933—1938). Эмигрировал в США (в 1940, с 1953 — профессор Принстонского института перспективных исследований). Основные труды: "Полнота аксиом логического функционального исчисления" (докторская диссертация, 1930), "О формально неразрешимых предложениях Principia mathematica и родственных систем" (1931), "О интуиционистском исчислении высказываний" (1932), "О интуиционистской арифметике и теории чисел" (1933), "Одна интерпретация интуиционистского исчисления высказываний" (1933), "Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств" (1940), "Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения" (1958). В конце 1920-х Гильбертом и его последователями были получены доказательства полноты некоторых аксиоматических систем. Полнота аксиоматической системы рассматривалась ими как свойство системы аксиом данной аксиоматической теории, характеризующее широту охвата этой теорией определенного направления математики. В математических теориях, конструируемых на основаниях материальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории даны с самого начала (т.е. определенную интерпретацию данной теории полагают фиксированной). В рамках такой теории стали возможны рассуждения о выводимости ее утверждений из аксиом и рассуждения об истинности таких утверждений. Полнота системы аксиом в данном случае соответствовала совпадению этих понятий. (Пример аксиоматики такого вида — аксиоматика геометрии Евклида.) В математических теориях, конструируемых на основаниях формальной аксиоматики, значения исходных терминов аксиоматической теории остаются неопределенными во время вывода теорем из аксиом. В данном случае система аксиом называлась полной относительно данной интерпретации, если из нее были выводимы все утверждения, истинные в этой интерпретации. Наряду с таким понятием полноты определялось и другое ее понятие, являвшееся внутренним свойством аксиоматической системы (независимым ни от одной из ее интерпретаций): систему аксиом называли дедуктивно полной, если всякое утверждение, формулируемое в данной теории, может быть либо доказанной (являясь в таком случае теоремой), либо опровергнутой (в смысле возможности доказательства его отрицания). При этом, если аксиоматическая теория полна относительно некоторой интерпретации, то она является дедуктивно полной; и наоборот, если теория дедуктивно полна и непротиворечива (т.е. все теоремы истинны) относительно данной интерпретации, то она является полной относительно этой интерпретации. Понятие дедуктивной (внутренней) полноты — "удобная характеристика" аксиоматической теории при конструировании ее в виде формальной системы. На таком основании Гильбертом была выстроена искусственная система, включающая часть арифметики, с доказательствами ее полноты и непротиворечивости. Подход Г. в целом относится к конструктивному направлению математики: в интуиционистской трактовке истинности высказывания истинной он считал только рекурсивно реализуемую формулу (сводимую к функции от чисел натурального ряда). Тем самым интуиционистская арифметика становилась расширением классической. Одновременно конструируя и логику, и арифметику, Г. вынужденно отказался от логицистского тезиса Фреге о полной редуцируемости математики к логике. Г. обосновывал математику разработанным им же методом арифметизации метаматематики, заключающимся в замене рассуждений о выражениях любого логико-математического языка рассуждениями о натуральных числах. Этот метод Г. поместил в основу доказательства "теоремы Г. о полноте" исчисления предикатов классической логики предикатов (первого порядка), а позднее — в две важнейшие теоремы о неполноте расширенного исчисления предикатов, известных под общим названием "теорема Г. о неполноте". Г. в своей докторской диссертации (1930) доказал теорему о полноте исчисления классической логики предикатов: если предикатная формула истинна в любой интерпретации, то она выводима в исчислении предикатов (другими словами, любая формула, отрицание которой невыводимо, является выполнимой). Являясь одной из базисных теорем математической логики, теорема Г. о полноте показывает, что уже классическое исчисление предикатов содержит все логические законы, выражаемые предикатными формулами. Усиление теоремы о полноте классического исчисления логики предикатов утверждает, что всякая счетная последовательность формул, из которой нельзя вывести противоречия, выполнима. При этом, если из множества предикатных формул P невозможно вывести противоречие в рамках предикатного исчисления, то для множества P существует модель, т.е. интерпретация, в которой истинны все формулы множества Р. Доказательство полноты исчисления классической логики предикатов породило в школе Гильберта некоторые надежды на возможность доказательства полноты и непротиворечивости всей математики. Однако уже в следующем, 1931, году была доказана теорема Г. о неполноте. Первая теорема о неполноте утверждает, что если формальная система арифметики непротиворечива, то в ней существует как минимум одно формально неразрешимое предложение, т.е. такая формула F, что ни она сама, ни ее отрицание не являются теоремами этой системы. Иными словами, непротиворечивость рекурсивной арифметики делает возможным построение дедуктивно неразрешимого предложения, формализуемого в исчислении, т.е. к существованию и недоказуемой, и неопровержимой формулы. Такая формула, являясь предложением рекурсивной арифметики, истинна, но невыводима, несмотря на то, что по определению она должна быть такой. Следовательно, непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте. Усилением первой теоремы о неполноте является вторая теорема о неполноте, утверждающая, что в качестве формулы F возможен выбор формулы, естественным образом выражающей непротиворечивость формальной арифметики, т.е. для непротиворечивого формального исчисления, имеющего рекурсивную арифметику в качестве модели, формула F выражения этой непротиворечивости невыводима в рамках данного исчисления. Согласно теореме Г. о неполноте, например, любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел (аддитивные и мультипликативные операции над целыми числами) заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком достаточно ограниченном направлении математики останутся недоказуемыми. Б.В.Бирюков пишет о методологическом значении теоремы Г. о неполноте: "...если формальная арифметика непротиворечива, то непротиворечивость нельзя доказать средствами, формализуемыми в ней самой, т.е. теми финитными средствами, которыми Гильберт хотел ограничить метаматематические исследования...". Следовательно, (внутреннюю) непротиворечивость любой логико-математической теории невозможно доказать без обращения к другой теории (с более сильными допущениями, а следовательно менее устойчивой). Фон Нейман читал в момент публикации работы Г. лекции по метаматематической программе Гильберта, однако сразу после прочтения этой работы он перестроил курс, посвятив Г. все оставшееся время. Теорема Г. о неполноте — важнейшая метатеорема математической логики — показала неосуществимость программы Гильберта в части полной формализации определяющей части математики и обоснования полученной формальной системы путем доказательства ее непротиворечивости (финитными методами). Однако теорема Г. о неполноте, демонстрируя границы применимости финитного подхода в математике, не может свидетельствовать об ограниченности логического знания. Э.Нагель и Дж.Ньюмен о значении открытий Г. для сравнительной оценки возможностей человека и компьютера пишут, что "...для каждой нашей конкретной задачи, в принципе, можно построить машину, которой бы эта задача была под силу; но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи. Правда, и возможности человеческого мозга могут оказаться ограниченными, так что и человек тогда сможет решить не любую задачу. Но даже если так, структурные и функциональные свойства человеческого мозга пока еще намного больше по сравнению с возможностями самых изощренных из мыслимых пока машин... Единственный непреложный вывод, который мы можем сделать из теоремы Г. о неполноте, состоит в том, что природа и возможности человеческого разума неизмеримо тоньше и богаче любой из известных пока машин...". Г. также внес значительный вклад в аксиоматическую теорию множеств, два базисных принципа которой — аксиома выбора Э.Цермело и континуум-гипотеза — долгое время не поддавались доказательству, однако вследствие значимости их логических следствий исследования в этих направлениях продолжались. В аксиоме выбора Э.Цермело постулируется существование множества, состоящего из элементов, выбранных "по одному" от каждого из непересекающихся непустых множеств, объединение которых составляет некое множество. (Из аксиомы выбора Э.Цермело выводимы следствия, противоречащие "интуиции здравого смысла". Например, возникает возможность разбиения трехмерного шара на конечное количество подмножеств, из которых возможно движениями в трехмерном пространстве реконструировать два точно таких же шара.) Континуум-гипотеза — это утверждение о том, что мощность континуума (мощность, которую имеет, например, множество всех действительных чисел) есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщенная континуум-гипотеза гласит, что для любого множества М первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества Р. Эта проблема (высказанная Кантором в 1880-х) была включена в знаменитый список 23 проблем Гильберта. В 1936 Г. доказал, что обобщенная континуум-гипотеза совместима с одной естественной системой аксиоматической теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута стандартными методами. В 1938 Г. доказал непротиворечивость аксиомы выбора и континуум-гипотезы (интеграция их в заданную систему аксиом теории множеств не вела к противоречию). Для решения этих проблем была редуцирована аксиоматическая система П.Бернайса, на основе которой, а также предположения о конструктивности каждого множества Г. выстроил модель, адекватную системе аксиом без аксиомы выбора,и такую, что в ней все множества обладали свойством полной упорядочиваемости. В этой модели аксиома выбора оказалась истинной (выполнимой) и, следовательно, совместимой с исходной системой аксиом, следовательно непротиворечивой. В этой модели оказалась истинной и континуум-гипотеза. Дальнейшие работы в этом направлении позволили Г. разработать конструкции для исследования "внутренних механизмов" аксиоматической теории множеств. Кроме работ в указанных направлениях, Г. предложил в 1949 новый тип решения одного важного класса уравнений общей теории относительности, который был расценен Эйнштейном как "...важный вклад в общую теорию относительности..." и был удостоен Эйнштейновской премии (1951). C.B. Силков
