Философская энциклопедия - антилогизм

АНТИЛОГИЗМ

(от греч. ἀντι – приставка, означающая противоположность, и λογισμός – разум, рассуждение) – формула логики, выражающая несовместимость посылок категорич. силлогизма с отрицанием его заключения. А. основан на свойстве логического следования, состоящем в том, что следствие не может быть ложно при истинности посылки (или посылок).

Утверждение, что суждение Ψ есть следствие из посылки Ф (к-рая, в частности, может быть составлена из более простых посылок), означает, что случай, когда Ф истинно, а Ψ ложно исключается; это можно выразить так:

Ф → Ψ (эквивалентно) (Ф&Ψ). (1),

Здесь знак → обозначает отношение логического следования знак & обозначает логич. союз "и" (конъюнкцию), а служит для образования отрицания данного суждения; мысль о ложности заключения Ψ выражена в форме утверждения истинности его отрицания. В силу (1), если выражение Ф → Ψ ("из Ф следует Ψ") истинно, то выражение Φ&→Ψ ("и Ф, и отрицание Ψ оба истинны") ложно. Всякий А. есть формула последнего вида, но с той особенностью, что роль Ф играет в ней конъюнкция посылок силлогизма, а роль Ψ – его заключение.

Теория А. применима к такой силлогистике, в к-рой допускаются понятия с пустым объемом (см. Пустое), т.е. к неаристотелевой силлогистике (см. Силлогизм). В логике Аристотеля предполагается существование предметов, мыслимых в понятиях, являющихся терминами силлогизма; пустые классы не допускаются. В аристотелевой силлогистике имеется 19 правильных модусов, в т.ч. модусы Darapti, Felapton, Bramantip и Fesapo. Но если ввести пустой класс, то названные 4 модуса станут неправильными, т.к. в них заключение не будет следовать из посылок. Неаристотелева силлогистика содержит только 15 правильных модусов.

Одним из способов построения силлогистики является формализация теории силлогизма средствами исчисления классов с добавлением аппарата исчисления высказываний (т.н. комбинированное исчисление) Поскольку в исчисление классов вводится пустой класс, постольку теория силлогизма, формулируемая на языке комбинированного исчисления, является неаристотелевой. Модусы силлогизма в комбинированном исчислении выражаются так. Пусть a, b и с обозначают произвольные классы (объемы понятий), точка (знак, к-рый может и опускаться) обозначает операцию пересечения классов, а штрих – операцию образования дополнения к классу (к-рая соответствует получению отрицат. понятия из данного положительного). Обозначим символом 0 пустой класс, а знаком = выразим полное совпадение двух классов. Тогда формы общеутвердительного ("все a суть b"), общеотрицательного ("ни одно а не есть b"), частноутвердительного ("некоторые a суть b") и частноотрицательного ("некоторые a не суть b") суждений будут соответственно выражены формулами:

a b'=0

(пересечение класса a с дополнением к классу b совпадает с пустым классом, т.е. пусто), ab = 0 (пересечение a и b пусто), аb ≠ 0 [(пересечение a с b не пусто; мы пишем аb ≠ 0 вместо (ab = 0)] и аb ≠ 0 (пересечение а с дополнением к b не пусто). Выражение модусов силлогизма поясним на примере модуса Barbara: "Все a суть b, все с суть а, значит, все с суть b", к-рый записывается формулой

((ab'=0)&(а'с=0)) (b'с=0). (2)

В силу (1) эта формула эквивалентна формуле

(ab'=0)&(а'с=0)&(b' c ≠ 0). (2')

Формулы (2) и (2') превращаются в истинные суждения при подстановке вместо а, b и с любых конкретных понятий. Отрицая формулу (2'), мы (по правилу, согласно к-рому двойное отрицание эквивалентно утверждению) получим формулу:

(ab'=0)&(а'с=0)&(b' c ≠ 0), (I)

к-рая ложна для любых конкретных классов a,b и с. Формула (1) и есть антилогизм. А. – противоречивая формула; каждый из трёх членов А. несовместим с конъюнкцией двух остальных. Поэтому А. иначе называют несовместимой триадой.

Каждому модусу силлогизма – как правильному, так и неправильному – соответствует А., получающийся посредством конъюнктивного присоединения отрицания заключения к конъюнкции его посылок. Все А., соответствующие правильным модусам, обладают следующими свойствами; 1) они состоят из двух равенств и одного неравенства (т.е. из двух общих и одного частного суждения); 2) в равенствах содержится одна и только одна общая буква, взятая в одном равенстве со штрихом, а в другом без него (т.е. в общих суждениях должно встречаться одно и то же понятие, взятое в одном из суждений в утвердительной, а в другом – в отрицат. форме); 3) каждая из двух остальных букв в обоих своих вхождениях (она входит в неравенство и в одно из равенств) должна быть либо штрихованной, либо нештрихованной (т.е. каждое из двух остальных понятий должно везде браться либо в положительной, либо в отрицат. форме). А., имеющие эти свойства, наз. правильными, а не имеющие хотя бы одного из них – неправильными. Доказано, что все А., соответствующие неправильным модусам, неправильны. Так, неправильному модусу: "Все a суть b, некоторые с суть b, значит, некоторые с суть а", выражаемому формулой ((ab' = 0) & (bc ≠ 0)) → (ас ≠ 0), соответствует А. (ab' = 0) & (bc ≠ 0) & (ас = 0), не обладающий свойствами 2) и 3). Отсюда получается следующий способ определения правильности модусов неаристотелевой силлогистики: проверяемый модус записывают на языке комбинированного исчисления, образуют соответствующий ему А., проверяют, имеет ли этот А. свойства 1)–3); если А. не имеет к.-л. из них, то модус неправилен; в противном случае он правилен. Пользуясь этим критерием, легко установить неправильность модусов Darapti, Felapton. Bramantip и Fesapo в неаристотелевой силлогистике. Возьмем модус Felapton "Ни одно b не есть а, все b суть с, значит, некоторые с не суть а". Он выражается формулой ((ab = 0) & (bc = 0)) →(а' с ≠ 0), к-рой соответствует неправильный А.:

(ab = 0) & (bc' = 0) & (а'с = 0)

(этот А. не обладает свойством 1), что и свидетельствует о неправомерности модуса Felapton). Т.о., метод А. дает прием браковки неправильных модусов неаристотелевой силлогистики; он является одним из способов решения проблемы разрешения для этой силлогистики, позволяя относительно любого-модуса получить ответ на вопрос, принадлежит ли он к множеству правильных модусов или нет.

Исходя из любого правильного А., можно найти все 15 правильных модусов. Заметим предварительно, что в исчислении классов суждения "Ни одно a не есть b" и "Ни одно b не есть а" записываются одной и той же формулой аb = 0; то же касается и суждений "Некоторые a суть b" и "Некоторые b суть a", представляемых формулой ab ≠ 0 (т.о., формально логическая операция чистого обращения суждений невыразима в комбинированном исчислении). В силу этого нек-рые модусы символически представляются в одинаковой форме. Напр., формула ((ab = 0) & (а' с = 0)) → (b c = 0) выражает как модус Celarent ("Ни одно a не есть b, все с суть а, значит, ни одно с не есть b"), так и модус Cesare ("Ни одно b не есть а, все с суть a, значит, ни одно с не есть b"). Объединив модусы, к-рым. соответствуют одни и те же формулы, получим следующие 8 групп: 1) Rarbara, 2) Celarent, Cesare, 3) Darii, Datisi, 4) Ferio, Festino, Ferison, Fresison, 5) Cnmestres, Camenes, 6) Baroko, 7) Disamis, Dimaris, 8) Bokardo. Возьмем к.-л. правильный Α., напр.:

(ab=0)&(а'с=0)&(bс ≠ 0). (II)

т.к. формула (II) для любых а, b и с является ложной, ее отрицание

→ ((ab = 0) & (а' с = 0) & (bс ≠ 0)).

всегда истинно; поэтому, применяя (трижды) эквивалентность (1), получим всегда истинные формулы:

а) ((ab = 0) & (а' с = 0)) → (bс = 0), б) ((аb = 0) & (bс ≠0)) → (а' с≠ 0) и

в) ((а' с = 0) & (bс ≠ 0)) → (аb ≠0),

выражающие тот факт, что каждый член А. есть следствие из конъюнкции двух остальных. Выражения а) – в) суть формулы модусов силлогизма; всегда истинность этих формул отражает правильность соответствующих модусов. Формула а), как мы видели, формализует модусы 2-й группы. Она же выражает и модусы 5-й группы, но при условии, что роль большего термина силлогизма играет не b (как обстояло дело в модусах 2-й группы), а с, роль же меньшего выполняет не с, а b (так, модус Camenes следует брать в форме: "Все с суть a, ни одно a не есть b, значит, ни одно b не есть с"). Формула б) выражает модусы 4-й группы, а формула в) – модусы 3-й и 7-й групп. Чтобы вывести модусы остальных групп, подставим в антилогизм (II) вместо b букву b'. Такую подстановку мы можем сделать, т.к. b обозначает произвольный класс, а потому за b можно принять b', поскольку дополнение к классу тоже есть класс. В результате подстановки получим А. (I), из к-рого по изложенному выше методу получаются модусы 1-й, 6-й и 8-й групп. С помощью соответствующих подстановок (переименования букв и их "штрихования" с использованием того, что а')' эквивалентно a) все правильные А. выводятся друг из друга. Благодаря этому метод А. дает простой способ, как из любого правильного модуса неаристотелевой силлогистики вывести все остальные ее правильные модусы. Теория А. разрабатывалась Л. Франклин, Шрёдером и из совр. логиков – Карри. Лит.: Schröder Ε., Vorlesungen über die Algebra der Logik, Bd 2, Lpz., 1905, c. 217–55; Бакрадзе К., Логика, Тб., 1951, с. 283–87.

Б. Бирюков. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.