Философская энциклопедия - схема аксиом

СХЕ́МА АКСИО́М

(аксиомная схема) – разновидность постулатов, с помощью к-рых в логике задаются исчисления (формальные системы). С а. представляет собой выражение, составленное из т.н. метаматем. букв. т.е. символов, не входящих в алфавит рассматриваемой системы, а лишь о б о з н а ч а ю щ и х произвольную формулу данной системы (см. Метаязык). При подстановке вместо каждой метаматем. буквы, входящей в данную С. а., к.-л. (одной и той же для каждой буквы) конкретной формулы системы получается конкретная аксиома этой системы. Напр., при подстановке в С. а. исчисления высказываний (см. Логика высказываний) A ⊃ (B ⊃ A) формулы А вместо метаматем. буквы А и формулы A ⊃ B вместо В получается аксиома А ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ A), при подстановке С вместо А и С вместо В – аксиома С ⊃ (С ⊃ С) и т.п. Т. о., каждая С. а. заменяет бесконечное множество аксиом, получающихся из нее путем всевозможных подстановок формул вместо метаматематич. букв. Логич. исчисление, описываемое с помощью конечного числа C. a., может быть преобразовано в дедуктивно эквивалентное ему (т.е. имеющее тот же класс доказуемых формул) исчисление, описываемое тем же числом аксиом, но содержащее дополнит. правило вывода – т.н. правило подстановки, согласно к-рому из каждой теоремы (в том числе, конечно, и из аксиомы) можно получить новую теорему подстановкой произвольной tiopMyflbi вместо каждого вхождения одной и той же уквы из алфавита данной системы в эту формулу.

Так, вместо рассмотренной выше C. a. можно было бы взять аксиому A ⊃ (B ⊃ A), из к-рой затем уже получить теоремы (но не аксиомы!): А ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ A), С ⊃ (С ⊃ С) и т.п. В т.н. прикладных логико-матем. исчислениях (напр., в арифметике или аксиоматич. теории множеств) замена С. а. на аксиому требует уже, вообще говоря, более существенного расширения запаса логич.

средств, нежели только добавления нового правила вывода. Напр., С. а. математической индукции А(0) & ∀ n (А(n) ⊃ A(n+1)) ⊃ m A(m) может быть заменена аксиомой матем. индукции ∀ А(А(0) & ∀ n (А(n) ⊃ А(n +1)) ⊃∀ mА(m)) лишь за счет перехода от узкого исчисления предикатов к т.н. расширенному исчислению предикатов, допускающему употребление кванторов по предикатным переменным и включающему дополнит.

аксиомы и правила вывода для преобразования формул, содержащих такие кванторы. Системы, к-рые можно формулировать с помощью к о н е ч н о г о числа аксиом лишь за счет перехода к исчислению предикатов высшего порядка, наз. н е э л е м е н т а р н ы м и, в отличие от элементарных теорий (конечно) аксиоматизируемых на базе узкого исчисления предикатов.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 19; Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 7, 27.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.