Философская энциклопедия - доказательство разбором случаев

ДОКАЗА́ТЕЛЬСТВО РАЗБО́РОМ СЛУЧАЕВ

рассуждение по случаям (англ. proof by cases), – распространенный (особенно в содержательном мышлении) способ логич. вывода, при к-ром справедливость заключения устанавливается посредством рассмотрения ряда условий (случаев), анализ к-рых показывает, что из каждого, если оно было бы выполнено, логически следовала бы справедливость заключения, но относительно к-рых может быть не известно, к-рое из них имеет место, а известно только, что по крайней мере одно из них выполняется. Простейший вид Д. р. с. имеет место тогда, когда случаев, подлежащих рассмотрению, всего два. Этой простейшей форме Д. р. с. в логике высказываний и предикатов исчислении соответствует правило (см. Вывод в математической логике):

к-рое читается следующим образом: "Пусть доказана формула A / В ["А или В", знак / обозначает слабую (т.е. неразделительную) дизъюнкцию]. Тогда, если из предположения А (первый случай) средствами исчисления будет выведено С, а из предположения В (второй случай) также будет выведено С, то, следовательно, С доказуемо".

Это правило может быть основным (постулированным) или производным (т.е. выводимым из осн. правил) в зависимости от принятого способа построения исчисления. Правилу (1) соответствуют тождественно-истинные формулы таблично построенного исчисления высказываний (алгебры логики): ((А→С)&(B→C)&(А/B))→C; (*) (A→C)→((B→C)→((A/B)→С)) и др. При аксиоматич. построении исчисления высказываний и исчисления предикатов, при к-ром формула (*) часто входит в множество аксиом исчисления (см., напр., Клини С. К., Введение в метаматематику, с. 77), выводимость (1) в качестве производного правила существенно опирается на теорему о дедукции, и поэтому на применение его в исчислении предикатов накладываются нек-рые ограничения, связанные с формулировкой этой теоремы. Правило (1) может быть обобщено на случай дизъюнкции любого конечного числа членов:

Дальнейшее обобщение правила Д. p. c. может быть связано с отказом от предположения доказанности дизъюнкции (A1 / A2 /.../An) и с допущением использования при выводе формулы С также нек-рого множества дополнит. посылок Г (последнее в частном случае может быть пустым). Правило при этом принимает следующий вид:

(читается оно так: "Пусть из посылок Г и А1, выводится С, из посылок Г и А2, тоже выводится С и т.д., наконец, из Г и Аn тоже выводится С. Тогда С может быть выведено и из Г и А1 / A2 /.../An").

Известную в традиц. логике форму простой конструктивной дилеммы можно рассматривать как Д. р. с. в его простейшей форме. К Д. р. с. сводятся и др. формы дилеммы; в частности, оба вида деструктивной дилеммы приводятся к Д. р. с. посредством контрапозиции (см. Контрапозиции закон) условных посылок. Вообще, все лемматич. умозаключения можно рассматривать как Д. р. с.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 4 и 5; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Proof by cases, в кн.: Dictionary of philosophy, ed. by D. D. Runes, 1955, p. 255.

Б. Бирюков, А. Кузнецов. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.