Философская энциклопедия - круг в доказательстве

КРУГ В ДОКАЗА́ТЕЛЬСТВЕ

(лат. circulus in demonstrando) – логич. ошибка, состоящая в том, что доказываемый тезис обосновывается с использованием в данном доказательстве самого же этого тезиса в качестве одного из его оснований; разновидность ошибки "недоказанного основания" (или "постулирования основания", лат. petitio principi). Типичным видом К. в д. является случай, когда в доказательстве тезиса А встречается такое положение (суждение, предложение) В, к-рое само ранее доказывалось с привлечением положения А. Другие случаи К. в д. могут отличаться большей тривиальностью (когда тезис доказывается непосредственно с помощью самого себя) или, наоборот, большей сложностью (когда, напр., тезис А доказывается с привлечением положений В1 и В2, положение В1 доказывается с привлечением С1 и С2, положение В2 – с привлечением С2 и С3, положения С1 и С2 – с привлечением D, а положения С3 и D – с привлечением А). Понятие К. в д. является частным случаем общего понятия п о р о ч н о г о к р у г а (или л о ж н о г о к р у г а, лат. circulas vitiosus), др. частным случаем к-рого является понятие круга в определении (когда, напр., термин А определяется через термин В, а В – через А).

При наличии К. в д., как и вообще в случае ошибки "недоказанного основания", настоящего доказательства не получается, т.к. совокупность посылок такого доказательства не может служить достаточным основанием доказанности тезиса. Однако в нек-рых случаях такое ошибочное доказательство может быть полезно тем, что оно легко превращается в доказательство иного тезиса, утверждающего, напр., эквивалентность двух различных по смыслу положений. Действительно, если из исходных положений нек-рой данной системы знания (ее постулатов, определений и т.п.) и нек-рого осмысленного в этой системе предложения В выводится предложение А, а из этого А и тех же исходных положений выводится В, то предложения А и В эквивалентны в данной системе. Именно такое значение имели в истории геометрии доказательства эвклидова 5-го постулата (о параллельных) Прокла (5 в.), Насирэддина Туси (13 в.), Дж. Валлиса (17 в.) и др., хотя в них непосредственно и не было К. в д., а было лишь явное или неявное (выявленное после уточнения логич. оснований геометрии) использование нек-рого недоказанного, но, как казалось, очевидного основания В. После выяснения того, что и само это В тоже требует доказательства (причем осуществить последнее не легче, чем доказать 5-й постулат) и что естественнее В доказывать как обычно, с использованием 5-го постулата, их уже нельзя было принять в качестве доказательства этого постулата. Поскольку же В оказывалось таким положением, доказывать к-рое с привлечением 5-го постулата умели еще со времен Эвклида (3 в. до н.э.), то доказательство 5-го постулата, основанное на таком В, автоматически превращалось в доказательство эквивалентности положения В 5-му постулату.

Этот пример показывает, что нек-рые доказательства, содержащие конструкции, похожие на К. в д., могут и не быть ошибочными. Другим примером такого рода могут служить доказательства по методу математической индукции, когда доказываемый тезис А(x) используется в своем собственном доказательстве в качестве посылки того вспомогат. вывода, в к-ром из А(х) выводится А(х+1), т.е. когда доказательство проводится в соответствии с формулой: (А(0) & ∀x(A(x)⊃A(x+1)))⊃A(x).

Лит.: Логика, под ред. Д. П. Горского и П. В. Таванца, М., 1956, гл. 15; Рашевский П. К., "Основания геометрии" Гильберта и их место в историч. развитии вопроса, в кн.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948; Каган В. Ф., Основания геометрии, т. 1, М.–Л., 1949, т. 2, М., 1956.

А. Кузнецов, А. Субботин. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.