Философская энциклопедия - математическая бесконечность

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕ́ЧНОСТЬ

общее название разл. реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия М. б. и др. значениями, в к-рых употребляется термин "бесконечность", нет жесткой границы (поскольку все эти понятия в конечном счете отражают весьма близкие свойства реального мира), математич. анализ понятия бесконечности следует отграничивать от филос. анализа, – признавая диалектич. характер бесконечности, математика стремится выделить в качестве ее экспликатов формально непротиворечивые понятия, пригодные для строгого дедуктивного (формальнологич.) построения математич. и логико-математич. теорий.

Вокруг идеи М. б. уже в античности шли острые дискуссии. Т. зр. Демокрита, рассматривавшего геометрич. прямую как состоящую из "неделимых" элементов нулевой длины, оказалась подорванной открытием (5 в. до н.э.) несоизмеримости отрезков. В порядке преодоления создавшихся трудностей возникли теория пропорций Эвклида (прообраз позднейших теорий континуума) и т.н. метод исчерпания Архимеда, фактически заключавший в себе понятие предела. В основе этих идей лежал отказ от атомистич. представлений (в геометрии).

Проблемы M. б. вновь привлекли внимание в 17 в. в связи с открытием дифференциального и интегрального исчисления и введением таких понятий, как "бесконечно малая" и "бесконечно большая" величина, к-рые часто воспринимались как нечто таинственное и непостижимое. Лишь в 20-х гг. 19 в. франц. математиком О. Коши понятие бесконечно малой величины было, по существу, изгнано из математики при помощи сведения его к точному понятию п р е д е л а "переменной" величины, хотя это сведение и опиралось на интуитивные представления об изменении некоей "величины" во времени, т.е. было связано с категорией, лежащей вне "чистой" математики.

Еще со времен антич. древности наметилось глубокое различие между двумя аспектами М. б.: дискретным, отраженным в понятиях натурального ряда и последовательности, и н е п р е р ы в н ы м, связанным с рассмотрением свойств произвольных функций, определенных на (числовом) континууме (см. Прерывность и непрерывность). Но в 60–70-хгг. 19 в. понятие предела переменной величины было в принципе сведено к понятию предела последовательности (функции натурального аргумента), а исследования основного для математич. анализа понятия действительного (вещественного) числа, проведенные нем. математиками К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Кантором и франц. математиком Ш. Мере, привели к т.н. арифметизации анализа: действительные числа определялись как множество рациональных чисел, причем в теориях Вейерштрасса и Мере–Кантора эти множества в явном виде фигурировали в качестве последовательностей. В рамках арифметизированного анализа приобретали полную ясность все осознанные и неосознанные переходы к пределу, совершавшиеся в античной математике от Евдокса до Архимеда, и разрешались (в известном смысле) зеноновские апории.

Это обоснование понятий и методов, связанных с М. б., было обязано принятию т.н. теоретико-множественной установки, суть к-рой состоит в том, что конкретные математич. теории рассматриваются как разл. спецификации теории множеств Кантора, к-рый разработал четкую иерархию кардинальных чисел (мощностей) и трансфинитных (бесконечных) порядковых чисел. Известный еще со времен Галилея факт, что бесконечное множество может быть эквивалентно (равномощно; см. Взаимно-однозначное соответствие) своей правильной (т.е. не совпадающей с ним) части, воспринимавшийся как "парадокс бесконечного" (в нарушение "аксиомы" – целое больше части), теперь был положен в основу о п р е д е л е н и я бесконечного множества (Дедекинд).

Вскоре, однако, выяснилось, что теоретико-множеств. представления отнюдь не решили принципиальных трудностей, относящихся к М. б., что было связано с открытием парадоксов теории множеств. Естественно было считать, что появление парадоксов связано прежде всего с приводящим к абстракции актуальной бесконечности безоговорочным перенесением на бесконечные множества законов традиц. логики, сформулированных и безусловно верных в применении к конечным множествам. В дальнейшем во взглядах на причины возникшего кризиса определились далеко идущие расхождения. В рамках типов теории (см. также Логицизм) Рассела и Уайтхеда мощности конечных множеств (следуя Фреге) вводились посредством спец. логич. формул (предикатов), а понятие М. б. – при помощи т.н. аксиомы бесконечности. Однако уязвимость аксиомы бесконечности и особенно др. важного постулата системы Рассела – т.н. аксиомы сводимости, носящих характер практически непроверяемых гипотез, обратила внимание подавляющего большинства математиков и философов к др. путям решения проблемы М. б.

Как отмечал глава формально-аксиоматич. направления Д. Гильберт, никакое реальное наблюдение (или опыт) до сих пор не дало и принципиально не может дать к.-л. конкретного примера бесконечного множества. Тем не менее понятие М. б. может оказаться плодотворным в качестве т.н. идеального понятия (понятия, не имеющего реальной, физич. интерпретации) – при условии, что присоединение такого понятия (и получаемых с его помощью предложений) к теории не нарушает ее непротиворечивости. Реализацией гильбертовской программы (см. Метатеория) явились разл. системы аксиоматич. теории множеств (Э. Цермело, А. Френкеля, Дж. фон Неймана, Т. Сколема, П. Бернайса, К. Гёделя, А. Мостовского и др.). Для построения в рамках этих систем конкретного примера бесконечного множества требуется спец. аксиома бесконечности, утверждающая существование множества, эквивалентного своей правильной части (напр., натурального ряда). В отличие от логицистич. трактовки аксиомы бесконечности, при аксиоматич. подходе ее формулировка не предполагает к.-л. постулатов о содержательной бесконечности возможных физич. интерпретации теории множеств.

Новейшее развитие математики и логики обнаружило, что представление об абсолютной, не зависящей от каких бы то ни было дополнит. понятий и допущений, "природе" понятия М. б. оказывается неоправданным. Так, казавшаяся очевидной равносильность (эквивалентность) используемого в аксиоматич. теории множеств определения бесконечного множества и представления о бесконечном множестве как "неконечном" связана, как выяснилось, с использованием т.н. аксиомы выбора. Это привело к имеющим важное филос. значение исследованиям о различных по силе определениях бесконечного множества (А. Тарский, А. Мостовский и др.). Относительность понятия М. б. раскрывается в рамках аксиоматич. подхода и в др. аспекте. Согласно теореме Лёвенхейма–Сколема (см. Предикатов исчисление), любая непротиворечивая аксиоматич. теория имеет интерпретацию (модель), причем такую, что ее элементами являются натуральные числа; отсюда следует, что описываемые в системах аксиоматич. теории множеств "несчетные" множества представимы средствами счетной модели. Этот "парадокс Сколема" демонстрирует относительность понятий счетности и несчетности (обусловливающую, в частности, возможность построения т.н. нестандартных моделей арифметики и теории множеств, т.е. таких моделей, что построенный в них натуральный ряд – или класс трансфинитных чисел – оказывается неизоморфным соответствующему числовому классу теории, средствами к-рой строится модель; см. Изоморфизм, Модель) и показывает беспочвенность расчетов на категоричность системы аксиом теории множеств (или даже арифметики), подрывая тем самым платонистские представления о существовании (безотносительном к нашему мышлению) таких "сущностей", как натуральный ряд и др. бесконечных множеств, рассматриваемых в математике.

В уяснении методологич. проблем М. б. большую роль сыграли интуиционизм и конструктивное направление в математике. После критики Брауэром классич. математики стало ясно, что суть проблемы состоит в разл. обоснованности, с к-рой правила обращения с конечными множествами могут быть перенесены (и действительно переносятся) на бесконечные множества, т.е. в понимании и использовании абстракций, связанных с М. б. Наиболее замечат. чертой конструктивного направления (по отношению к проблеме М. б.) является последовательная реализация (декларированных еще интуиционистами начала 20 в.) конструктивных принципов истолкования математич. суждений (в частности, всеобщих и экзистенциальных суждений) – принципов, не использующих абстракции актуальной бесконечности.

Существенно новый подход к проблеме M. б. возник в последние годы в связи с т.н. ультраинтуиционистской критикой оснований математики и возникшей на ее основе "генетической" программой обоснования теории множеств. Согласно ультраинтуиционистскому подходу, гипотеза потенциальной осуществимости (см. Абстракция потенциальной осуществимости) распадается на ряд содержательно неэквивалентных допущений об осуществимости. Неосуществимые средствами любой из этих частичных абстракций числа можно интерпретировать как бесконечные [такой подход к М. б., намечавшийся ранее Маннури, голл. математиком Д. ван Данцигом и др., в известной мере аналогичен представлениям, развиваемым Дж. фон Нейманом и А. Н. Колмогоровым в теории (конечных) автоматов ]. Дальнейшие построения ультраинтуиционизма связаны с анализом абстракции отождествления.

В ультраинтуиционистской концепции понятие M. б., с одной стороны, как таковое вообще не используется, а с другой – в терминах принятой ультраинтуиционизмом "конечной установки" удается не только проинтерпретировать понятия теории (бесконечных) множеств, но и показать непротиворечивость последней, а также найти подход к решению трудных теоретико-множеств. проблем (контунуум-гипотеза, существование недостижимых трансфинитных чисел и др.). Интересно ультраинтуиционистское разрешение зеноновских апорий "Ахиллес", "Дихотомия" и др., состоящее в указании на неправомерность допущения об "окончании" бесконечного процесса посредством установления изоморфизма между последовательностью реальных (пространственных и временных) промежутков и последовательностью их мысленных образов. Вообще соврем. подходы к проблеме М. б. часто перекликаются с античной проблематикой. Так, исходным пунктом ультраинтуиционистских рассмотрений можно считать явный учет реальных ситуаций, приводящих к парадоксам типа "Куча" Евбулида. Др. пример такого рода – "перевоплощение" атомизма Левкиппа – Демокрита, черты к-рого можно усмотреть в концепции континуума в конструктивном математич. анализе, согласно к-рой каждая конструктивная вещественная функция оказывается непрерывной ("снятие" извечного противопоставления дискретного и непрерывного).

Т.о., для математики, всегда и м е ю щ е й в в и д у понятие М. б., характерно стремление освободиться от его явного использования. Математику, часто называемую "наукой о бесконечности", с не меньшим основанием можно определить как науку о способах обходиться без понятия бесконечности. В этом, в частности, естественно усматривать ее диалектич. характер. См. также Математическая индукция, Алгоритм.

Лит.: см. при статьях Конструктивное направление, Метод аксиоматический, Метатеория.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. — М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960—1970.