Математическая энциклопедия - аддитивная теория идеалов

одна из ветвей современной алгебры. Главная задача А. т. и.представление любого идеала кольца (или другой алгебраич. системы) в виде пересечения конечного числа идеалов специального вида (примерных, терциарных, при-мальных, одночастных и др.). При этом вид представлений выбирается так, что: 1) для любого идеала существует нужное представление, или, что то же, справедлива нек-рая теорема "существования"; 2) выбранные представления должны быть единственны с точностью до каких-то ограничений, или, что то же, выполняется нек-рая теорема "единственности". Начало А. т. и. было положено в 20-30-х гг. 20 в. работами Э. Нётер [1] и В. Крулля [2].

Все особенности А. т. и. отчетливо проявляются в случае колец. Пусть нётерово кольцо, т. е. ассоциативное кольцо с условием максимальности для идеалов. Если А - идеал в R, то существует наибольший идеал Nкольца R, обладающий свойством: для нек-рого натурального Этот идеал наз. примерным радикалом идеала А(в кольце R).и обозначается через Идеал кольца наз. примарным, если для любых двух идеалов А, В в Rвыполняется условие:

Для примарных идеалов верна теорема пересечения: пересечение любых двух примарных идеалов с одним и тем же примарным радикалом Рсамо есть при-марный идеал с тем же радикалом Р. С помощью этой теоремы доказывается теорема существования: если кольцо Rкоммутативно, то для любого идеала существует такое представление идеала Ав виде пересечения конечного числа примарных идеалов

что ни один из идеалов А i не содержит пересечения остальных, и примарные радикалы попарно различны. Такие представления наз. несократимым и, или примарно редуцированными (см. [1], [4]). Для этих представлений верна теорема единственности: если (1) и

два примарно редуцированных представления идеала при надлежащей перенумеровке идеалов Bi

Именно А. т. и. нётеровых коммутативных колец (классич. А. т. и.) нашла многочисленные применения в различных разделах математики.

Если кольцо Rнекоммутативно, то теорема "существования", указанная выше, перестает быть верной, в то время как теоремы "единственности" и "пересечения" верны. Этот факт начиная с 30-х гг. 20 в. привел к поискам такого обобщения классич. примарности на некоммутативный случай, при к-ром оставалась бы справедливой и теорема "существования". Было найдено нужное обобщение (см. [4]) терциарность (см. Терциарный идеал). В дальнейшем было показано, что при нек-рых естественных ограничениях терциарность является единственным "хорошим" обобщением понятия примарности (см. [6], [7], [8]).

В 60-е гг. 20 в. А. т. и. развивалась в рамках теорий решеток, систем с частными и мультипликативных систем (см. [4], [5], [6]), что дало толчок развитию, напр., А. т. и. неассоциативных колец, нормальных делителей группы и подмодулей модуля.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985