Математическая энциклопедия - p-адическое число

элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р.

Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно неархимедова нормирования (см. Абсолютное значение).

Целым р-адическим числом для произвольного простого рназ. последовательность вычетов удовлетворяющих условию

Сложение и умножение целых р-А. ч. определяется формулами

Каждое целое число тотождествляется с р-А. ч. х= (m, т, ...). Относительно сложения и умножения целые р-А. ч. образуют кольцо, к-рое содержит кольцо целых чисел. Кольцо целых р-А. ч. может быть также определено как проективный предел

колец вычетов по mod р ⁿ (относительно естественных проекций).

р-адическим числом, или рациональным р-адическим числом, наз. элемент поля отношений кольца целых р-А. ч. Это поле наз. полем р-адических чисел и содержит поле рациональных чисел в качестве подполя. Как кольцо, так и поле р-А. ч. наделяются естественной топологией. Эта топология может быть определена метрикой, связанной с р-адической нормой, т. е. с функцией от р-А. ч. х, определяемой следующим образом. Если то ходнозначно представимо в виде где а - обратимый элемент кольца целых р-А. ч. Тогда р-адическая норма равна Если x=0, то Определяя сначала только на рациональных числах, можно получить поле р-А. ч. как пополнение поля рациональных чисел.

Каждый элемент поля р-А. ч. может быть представлен в виде

где целые, нек-рое целое число, и ряд (*) сходится в метрике поля Qp. Числа с условием (т. е. с ) образуют кольцо Zp целых р-А. ч., являющееся пополнением кольца целых чисел поля Q. Числа с условием образуют мультипликативную группу и наз. р адическими единицами. Совокупность чисел с условием является главным идеалом в Zp с образующим элементом р. Кольцо является полным кольцом дискретного нормирования. Поле локально компактно в топологии, индуцируемой метрикой Поэтому в нем существует инвариантная мера m, подчиняемая обычно условию Для различных рнормирования независимы, а поля неизоморфны. Многие факты и понятия классического анализа переносятся на случай р-адических полей.

р-А. ч. связаны с решением диофантовых уравнений по модулю возрастающей степени простого числа. Так, если многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения