Математическая энциклопедия - многочлен

полином,выражение вида

где переменные, а А, В, ..., D (коэффициент ы М.) и x, y, .. ., w (показатели степеней целые неотрицательные числа) постоянные. Отдельные слагаемые вида

наз. членами М. Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; тёчно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене степени с нулевыми показателями. В случае, когда М. имеет один, два или три члена, его наз. одночленом, двучленом или трехчленом.

Относительно коэффициентов М. предполагается, что они принадлежат нек-рому полю, напр, полю рациональных, действительных или комплексных чисел.

Два члена М. наз. подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены

можно заменить одним

(приведение подобных членов). Два М. наз. равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих М. оказываются равными нулю. В последнем случае М. наз. тождественным нулем и обозначают знаком 0.

Сумму показателей степеней какого-либо члена М. наз. степенью этого члена. Если М. не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень наз. степенью М. Тождественный нуль не имеет степени. М. нулевой степени сводится к одному члену А(постоянному, не равному нулю).

М. от переменных х 1, х2, . . ., х п наз. симметрическим многочленом, если он не меняется ни при какой перестановке неизвестных. М., все члены к-рого одинаковой степени, наз. однородным многочленом, или формой; формы первой, второй и третьей степеней наз. линейными, квадратичными, кубическими, а по числу переменных (два, три)-двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (напр., есть тройничная квадратичная форма).

Степенью многочлена по отношению к одному из переменных наз. наивысший показатель, с к-рым .xi входит в члены этого М. (эта степень может быть и нулевой). Из двух членов М. тот считается выше (Относительно данной нумерации переменных), у к-рого показатель при х 1. больше, а если эти показатели равны, то тот, у к-рого показатели при больше, и т. д. Если все члены М. расположены в таком порядке, что каждый следующий член ниже предыдущего, то говорят, что члены этого М. расположены лексикографически. Тот член, к-рый при этом стоит на первом месте, наз. высшим членом многочлена. М. от одного переменного, члены к-рого расположены в лексико-графич. порядке, имеет вид

где коэффициенты.

Корнем многочлена от одного неизвестного над полем кназ. решение алгебраического уравнения

Корни М. связаны с его коэффициентами формулами Впета (см. Виета теорема).

Совокупность всевозможных различных М. от ппеременных с коэффициентами из данного поля образует кольцо относительно естественным образом определяемых операций сложения и умножения. Рассматриваются также кольца М. от бесконечного множества переменных. Многочленов кольца являются ассоциативно-коммутативными кольцами без делителей нуля (т. е. произведение М., не равных 0, не может дать 0).

Если для двух многочленов Ри Qможно найти такой многочлен В, что то говорят, что Рделится на Q; Q наз. делителем, а Вчастным. Если Рне делится на Q, но оба М. содержат одно и то же переменное, напр, х, и степень Рпо отношению к хесть п, а степень Qесть , то можно найти такие многочлены р, R и S, что pP=QR+S, причем рсовсем не содержит х, а в Sпеременное хсодержится в степени ниже т. В случае, когда хявляется единственным переменным, можно рсчитать равным 1; тогда операцию отыскания Ви Sпо Ри Qназ. делением с остатком; деление с остатком можно производить с помощью Горнера схемы.

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Ри Q, т. е. такой делитель Ри Q, к-рый делится на любой общий делитель этих М. (см. Евклида алгоритм). Два М., наибольший общий делитель к-рых равен 1, наз. взаимно простыми.