Математическая энциклопедия - множеств категория

категория, объектами к-рой являются всевозможные множества, морфиз-мами всевозможные отображения множеств друг в друга, и умножение морфизмов определяется как последовательное выполнение отображений и Если теоретико-категорные рассмотрения проводятся внутри фиксированного универсального множества U, то под М. к. понимают категорию, объектами к-рой являются всевозможные множества, принадлежащие U, а морфизмы и их умножение вводятся, как и выше. М. к. обозначают либо , либо Ens, либо , либо Me.

Пустое множество является левым нулем (инициальным объектом), а одноэлементное множество правым нулем (терминальным объектом) М. к. Всякое непустое множество является образующим объектом, всякое множество, содержащее не менее двух элементов,кообразующим (коинтегральным) объектом М. к. Всякий мономорфизм с непустым началом есть обратимое справа инъективное отображение, всякий эпиморфизм есть обратимое слева сюръективное отображение. М. к. обладает единственной бикатегорной структурой.

М. к. является локально малой биполной категорией. В частности, произведение семейства множеств совпадает с декартовым произведением этого семейства, копроизведение семейства множеств совпадает с разъединенным объединением этого семейства. Декартово произведение, рассматриваемое как бифунктор, Hom-функтор и одноэлементное множество снабжают М. к. структурой замкнутой категории. Всякая категория относительная категория над М. к. Двухэлементное множество снабжает М. к. дополнительной структурой (абстрактного) топоса.

Категория тогда и только тогда эквивалентна М. к., когда в имеетсяформально присоединенный левый нуль , а полная подкатегория является категорией с регулярными кообразами с унарным образующим объектом, для каждого объекта Ак-рой существует произведение и каждое отношение эквивалентности

индуцировано ядерной парой нек-рого морфизма. Объект Uназ. унарным, если существуют любые копроизведения

и если всякий морфизм

представим в виде для единственного i. О других характеризациях М. к. см. [2], [3].

Категории, изоморфные подкатегориям М. к., наз. конкретными. О необходимых и достаточных условиях конкретности категории см. [1].

Лит.:[1] Frеуd P., "J. Pure and Appl. Algebra", 1973, v. 3, № 2, p. 171-91; [2] Lawvere P. W., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1964, v. 52, № 6, p. 1506 11; [3] Скорняков Л. А., "Матем. сб.", 1969, т. 80, № 4, с. 492-502.

М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985