Математическая энциклопедия - копроизведение

семейства объектов категории понятие, описывающее на языке морфизмов конструкции прямой суммы модулей или разъединенного объединения (букета) множеств. Пусть Ai, i ОI -индексированное семейство объектов категории M. Объект S, вместе с морфизмами si : А i-> S, наз. копроизведением семейства А i, i ОI, если для всякого семейства морфизмов ai : А i-> X, i ОI, существует такой единственный морфизм a: S->X, что sia=ai, i ОI. Морфизмы si наз! вложениями копроизведения; К. обозначается П*i ОI А i(si) или П*i ОI А i, или S=A1*...*А п в случае I={1, ..., n}. Морфизм a, входящий в определение К., иногда обозначается П*i ОI А i или (*)i ОI А iai. К. семейства объектов определено однозначно с точностью до изоморфизма, оно ассоциативно и коммутативно. Понятие К. двойственно понятию произведения.

К. пустого семейства объектов является левым нулем (инициальным объектом) категории. В абелевой категории К. часто наз. прямой суммой семейства объектов А i, i ОI, и обозначается е i ОI А i или А 1+...+ А n в случае I= {1,... , п}. В большинстве категорий структуризованных множеств К. семейства объектов совпадает со свободным произведением этого семейства и, как правило, требует специального описания. Так, в категории групп К. это свободное произведение групп, в категориях модулей прямая сумма модулей и т. д.

В категории с нулевыми морфизмами для К. S= П*i ОI А i(si) существуют такие однозначно определенные морфизмы pi : S-> А i, что sipi=1A, sipj=0. В абелевой категории К. и произведение конечного семейства объектов совпадают.

Лит.:[1] Ц а л е н к о М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Доленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985