Математическая энциклопедия - копсевдогалилеево пространство

пространство, двойственное псевдогалилееву пространству. Оно является частным случаем полугиперболического пространства.

Лит.:[1] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.

КОПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО пространство, получаемое из псевдоевклидова путем применения принципа двойственности проективного пространства такой же размерности; обозначение ^lR*n. К. п. ^lR*n является пространством с проективной метрикой, к-рая вводится в соответствии с общим определением проективных метрик путем выделения абсолюта в соответствующем по размерности проективном пространстве. Проективная метрика псевдоевклидова пространства ^lRn определяется абсолютом, состоящим из совокупности ( п-1)-плоскости и вещественной ( п-2)-квадрики в этой плоскости, поэтому проективная метрика соответствующего двойственного К. п. ^lR*n определяется двойственным к указанному абсолютом: вещественным (абсолютным) конусом 2-го порядка с точечной вершиной, принимаемой в качестве абсолютной точки. Абсолютный конус делит К. п. ^lR*n нa две области, в к-рых скалярный квадрат векторов имеет постоянный знак. Эти области изображают многообразия соответствующих плоскостей псевдоевклидова пространства, двойственного для данного ^lR*n. Изотропные плоскости псевдоевклидова пространства изображают точки абсолюта ^lR*n. В зависимости от расположения относительно абсолютного конуса и абсолютной точки (вершины) различают четыре типа прямых: эллиптические прямые, пересекающие абсолютный конус в двух мнимо сопряженных точках; гиперболически е прямые, пересекающие абсолютный конус в двух вещественных точках; параболические прямые, проходящие через абсолютную точку; изотропные прямые параболические, к-рые касаются абсолютного конуса.

В соответствующем по принципу двойственности псевдоевклидовом пространстве прямые первых двух типов изображаются пучками плоскостей, пересекающихся соответственно по евклидовым и псевдоевклидовым ( п-2)-плоскостям, параболические прямые пучками параллельных плоскостей, а изотропные пучками плоскостей, пересекающихся по изотропным (n-2)-плоскостям.

Расстояние между точками К. п. ^lR*n определяется с учетом двойственного характера этого пространства по отношению к соответствующему псевдоевклидову пространству ^lRn. Пусть точкам Xи YМ ^lR*n соответствуют плоскости в ^lRn с нормальными уравнениями

так, что

причем

где Е - линейный оператор, определяющий скалярное произведение в ^lRn. Расстояние 6 между точками X( х ⁰, x).и Y(y⁰, у).определяется соотношением

где р мнимое или действительное число, называемое радиусом кривизны пространства ^lR*n.

В случае, когда плоскости в пространстве ^lRn, отвечающие точкам Xи Y, параллельны, за расстояние между точками принимается расстояние dмежду этими параллельными плоскостями:

Геометрия на различных типах прямых пространства ^lR*n определяется типом проективной метрики на этих прямых. Так, гиперболич. прямая несет на себе проективную метрику гиперболич. пространства и т. д.

За величину угла между двумя плоскостями в К. п. ^lR*n принимается нормированное расстояние между соответствующими им по принципу двойственности точками псевдоевклидова пространства ^lRn, Угол между двумя плоскостями равен нормированному расстоянию между точками этих плоскостей, являющихся полюсами ( п-2)-плоскости их пересечения относительно квадрик, высекаемых абсолютным конусом на данных плоскостях, причем во всех случаях определяется тот угол, к-рый не содержит абсолютной точки. В частности, в пространстве ¹R*2 угол между двумя прямыми равен нормированному расстоянию между такими двумя точками данных прямых, к-рые вместе с точкой пересечения этих прямых гармонически делят точки пересечения с абсолютными прямыми.

Движениями К. п. ^lR*n наз. такие его преобразования, к-рые индуцируются движениями двойственного ему псевдоевклидова пространства. Движения К. п. ^lR*n описываются (как и движения псевдоевклидова пространства ^lRn).псевдоортогональными операторами индекса l.

Вследствие двойственного характера свойств плоскостей ¹R*2 и ¹R2 геометрия плоскости ¹R*2 может быть получена из геометрии плоскости ¹R2, в частности геометрия треугольника в плоскости ¹R*2. Основные соотношения между длинами сторон и величинами углов выражаются формулами, аналогичными для треугольников в коевклидовой плоскости (см. Коевклидово пространство), но с применением гиперболич. функций вместо соответствующих тригонометрических.

Пусть в треугольнике ABC внутренний угол Всодержит абсолютную точку. Между длинами сторон a, b, с ивеличинами углов А, В, С имеют место соотношения

Ha плоскости ¹R*2 метрика расстояний является гиперболической проективной, а метрика углов параболической. В 3-пространстве ¹R*3 проективная метрика на плоскости является гиперболической, на прямой эллиптической, а метрика в пучках плоскостей параболической (псевдоевклидовой) метрикой.

К. п.предельный случай гиперболических пространств.

Лит.:[1] Р о з е н ф е л ь д Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [2] Я г л о м И. М., Розенфельд Б. А., Ясинская Е. У., "Успехи матем. наук", 1964, т. 19, в. 5, с. 51-113. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985