Математическая энциклопедия - метрика

расстояние на множестве X,определенная на декартовом произведении функция р с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при. любых условиям:

1)тогда и только тогда, когда (аксиома тождества);

2) (аксиома треугольника);

3) (аксиома симметрии).

Множество X, на к-ром может быть введена М., наз. метризуемым. Множество X, наделенное некоторой М., наз. метрическим пространством.

Примеры. 1) На любом множестве имеется дискретная метрика:

2) В пространстве возможны разные М., среди них:

здесь

3) В римановом пространстве М. определяется метрическим тензором или дифференциальной квадратичной формой (в нек-ром смысле это аналог первой М. из примера 2)). Обобщение М. этого типа см. в ст. Финслерово пространство.

4) В функциональных пространствах над (би)компактом X также вводятся разные М., напр, равномерная метрика

(аналог второй М., из примера 2)), интегральная метрика

5) В нормированном пространстве над М. определяется через норму :

В нормированном кольце более сложная формула:

6) В метрич. пространстве вводится другая М.т. н. внутренняя метрика.

7) В пространстве замкнутых подмножеств метрич. пространства определяется хаусдорфова метрика.

Следует заметить, что в традиционном определении М. условие 3) и требование неотрицательности излишни, т. е. вытекают уже из достаточности условия 1) и условия 2).

Если вместо 1) выполняется лишь условие: , если (так что при не всегда ), функция наз. псевдометрикой [2], [3], или отклонением [4].

М. (и даже псевдометрика) позволяет определить ряд дополнительных структур на множестве X.

Прежде всего, это топология (см. Топологическое пространство), кроме того равномерная (см. Равномерное пространство )или близостная (см. Близости пространство )структуры. Термин М. используется также и для обозначения более общих понятий, к-рые не обладают всеми свойствами 1) 3), таковы, напр., индефинитная метрика, симметрика и т. д.

Лит.:[1] Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977; [2] Келли Д ж.-Л., Общая топология, пер. с англ., М., 1968; [3] Куратовский К., Топология, [пер. с англ.], т. 1, М., 1966; [4] Бурбаки Н., Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов. Словарь, пер. с франц., М., 1975.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985