Математическая энциклопедия - метрическая размерность

числовая характеристика компакта, определяемая с помощью покрытия "эталонами меры", число к-рых и определяет М. р. Пусть Fкомпакт,минимальное число множеств с диаметром, не превосходящим , необходимое для того, чтобы они покрывали F. Эта зависящая от метрики Fфункция принимает целочисленные значения для всех и неограниченно возрастает при ; она наз. функцией объема F. Метрическим порядком компакта Fназ. число

Эта величина не является еще топологич. инвариантом. Так, метрич. порядок жордановой дуги с евклидовой метрикой равен 1, а для жордановой дуги, проходящей через совершенно вполне несвязное множество в Rⁿ положительной меры, эта величина равна п. Однако нижняя граница метрич. порядков для всех метрик компакта F(наз. метрической размерностью) равна его Лебега размерности (теорема Понтрягина Шнирельмана, 1931, см. прил. к [1]). Лит.:.[1] Гурсвич В., Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948. М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985