Математическая энциклопедия - метризуемое пространство

пространство, топология к-рого порождается иек-рой метрикой по правилу: точка принадлежит замыканию множества в том и только в том случае, если она лежит на нулевом расстоянии от этого множества. Если такая метрика существует, то она не единственна -за исключением того случая, когда пространство пусто или состоит из одной лишь точки. В частности, топология каждого М. п. порождается нек-рой ограниченной метрикой. В М. п. выполняются сильные отделимости аксиомы:они нормальны и даже коллективно нормальны. Каждое М. п. паракомпактно. Все М. п. удовлетворяют первой аксиоме счетности. Но ни одно из названных условий, ни их совокупность недостаточны для метризуемости пространства. Достаточное условие метризуемости было найдено П. С. Урысоном (1923): каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространст воА. Н. Тихонов, 1925) со счетной базой метризуемо. Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и П. С. Урысоном (см. [1]). На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости: 1) пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счетным измельчающимся множеством открытых покрытий; 2) пространство метризуемо, если и только если оно обладает счетным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет x-акспоме отделимости (критерий Стоуна Архангельского). При этом множество x открытых покрытий пространства Xназ. фундаментальным, если для каждой точки , каждой ее окрестности Ох найдутся покрытие и окрестность точки хтакие, что каждый элемент покрытия , пересекающийся с , содержится в .

Указанные критерии связаны со следующим принципиально важным свойством неограниченной делимости, или звездной нормальности, метризуемых пространств. В каждое открытое покрытие М. п. X можно вписать открытое покрытие такое, что, какова бы ни была точка , найдется , для к-рого

На другой важной концепции локальной конечности основаны общие метризационные критерии. Критерий Нагаты Смирнова: пространство X метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств. Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База пространства X наз. регулярной (равномерной), если для всякой точки и любой ее окрестности найдется окрестность этой точки такая, что число элементов базы , пересекающих одновременно и дополнение к Ох, конечно (соответственно, если множество конечно). Пространство Xметризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой. Наконец, для метризуемости T1 пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой. Регулярные базы удобны тем, что они вскрывают механизм паракомпактности произвольного М. п.: чтобы вписать в произвольное открытое покрытие пространства X, обладающего регулярной базой , локально конечное открытое покрытие, достаточно взять совокупность всех максимальных элементов семейства

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости бикомпакта X любое из следующих четырех условий необходимо и достаточно: а) X обладает счетной базой; б) X обладает точечно-счетной базой; в) в X есть счетная сеть;г) диагональ в имеет тип . Для метризуемости пространства топологич. группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счетности причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (напр., по отношению к умножению слева).

Характерным свойством М. п. является совпадение для них ряда мощностных характеристик. В частности, для М. п. совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, протяженность, вес. Несовпадение этих чисел свидетельствует о неметризуемости соответствующих пространств.

Не всякое М. п. метризуемо полной метрикой; таково, напр., пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и является множеством типа в нек-ром содержащем его бикомпакте. Важным топологич. свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

К М. п. наиболее близки по свойствам т. н. моровские пространства вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции М. п. получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими v-метриками топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства путем отказа от аксиомы треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением "метрик" со значениями в полу-полях и других алгебраических образованиях общей природы.

Лит.:[1] Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974; [2] Еngelking В.., General topology, Warsz., 1977; [3] Антоновский М. Я., Болтянский В. Г., Сарымсаков Т. А., Метрические пространства над полуполями, Таш., 1961.

А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985