Математическая энциклопедия - дополнение

операция, к-рая ставит в соответствие подмножеству Мданного множества Xдругое подмножество так, что если известны Ми N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X, получаются различные определения Д. и разные способы восстановления Xпо Ми N.

В общей теории множеств дополнением подмножества (или дополнительным подмножеств о м) до множества Xназ. подмножество Сх М (или СМ, а также ), состоящее из всех элементов в , не принадлежащих М;одним из важных его свойств является принцип двойственности:

Пусть Xнаделено структурой линейного пространства и L-подпространство X. Подпространство наз. прямым алгебраическим дополнением (или короче алгебрауч. дополнением) подпространства X, если однозначно представим в виде x=y+z,Это эквивалентно условиям: X = L+N;Алгебраич. Д. любого подпространства Xвсегда существует, но определяется неоднозначно.

Пусть (X, т) линейное топологич. пространство и Xпрямая алгебраич. сумма X=L+N своих подпространств Lи N, рассматриваемых как линейное топологич. пространство с индуцированной топологией. Если x=y+z,то взаимно однозначное отображение ( х, у)->x+y декартова произведения на X, непрерывное в силу линейности топологии t, вообще, не взаимно непрерывно. Если же это отображение есть гомеоморфизм, т. е. если Xявляется топологич. прямой суммой пространств Lи N, то подпространство Nназ. прямым топологическим дополнением подпространства L, к-рое наз. в этом случае дополняемым. В произвольном линейном топологич. пространстве но всякое подпространство, даже конечномерное, дополняемо. Имеют место следующие необходимые и достаточные условия дополняемости: существует непрерывный проектор Рпространства Xна подпространство L;. подпространство Lтопологически изоморфно X/N, где Nалгебраическое Д. L. Из этих критериев вытекают следующие достаточные условия дополняемости: Lзамкнуто и имеет конечную коразмерность; X локально выпукло, Lконечномерно, Nзамкнуто и др.

Специальным случаем топологич. Д. является ортогональное Д. подпространства Lгильбертова пространства Н. Это множество

являющееся замкнутым подпространством пространства Н. Важнейшим для теории гильбертовых пространств является тот факт, что всякое замкнутое подпространство Lгильбертова пространства имеет ортогональное Д. и

Пусть, наконец, Xусловно полная векторная решетка (К-пространство). Дизъюнктным дополнением множества называется совокупность элементов вида

являющаяся линейным подпространством X. Если Млинейное подпространство, то в общем случае но если Мкомпонента (по другой терминологии полоса, замкнутый идеал), т. е. линейное подпространство такое, что: из и следует ; Мзамкнуто относительно операций перехода к точным верхним и нижним границам, то Х=М+М ^d (для любого Ммножество М ^d есть компонента; M^dd=(M^d)^d есть наименьшая компонента, содержащая множество ).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1965; [2] его же, Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [4] Робертсон А.,Робертсон В., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1967; [5] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971; [6] Вулих Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961.

В. И. Соболев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985