Математическая энциклопедия - решетка

с т р у к т у р а,частично упорядоченное множество, в к-ром каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих граней для всякого непустого конечного подмножества.

П р и м е р ы. 1) Линейно упорядоченное множеств М(или цепь), где для ,если , то

2) Подпространства векторного пространства, упорядоченные по включению, где

3) Подмножества данного множества, упорядоченные по включению, где

4) Неотрицательные целые числа, упорядоченные по делимости:, если для нек-рого с, где sup {a, b} - наименьшее общее кратное аи b,a inf {a, b} наибольший общий делитель аи b.

5) Действительные функции, определенные на отрезке [0, 1] и упорядоченные условием: , если для всех , где

причем а причем

Пусть Мрешетка. Мстановится универсальной алгеброй с двумя бинарными операциями, если определить

(вместо + и Х часто употребляются символы и или и ). Эта универсальная алгебра удовлетворяет следующим тождественным соотношениям:

Наоборот, если М - множество с двумя бинарными операциями, обладающими перечисленными выше свойствами , то на Мможно задать порядок , полагая , если а+b=b (при этом окажется, что тогда и только тогда, когда а ^. b=а). Возникающее частично упорядоченное множество будет Р., причем

Таким образом, Р. можно определить как универсальную алгебру, описываемую тождествами , то есть Р. образует универсальных алгебр многообразие.

Если частично упорядоченное множество рассматривать как малую категорию,то оно оказывается Р. в том и только в том случае, когда для любых двух объектов этой категории существует их произведение и копроизведение

Если Ри Р' - решетки и f изоморфизм этих частично упорядоченных множеств, то f является также изоморфизмом соответствующих универсальных алгебр, т. е.

для любых . Однако произвольное изотонное отображение решетки Рв решетку Р' не обязано быть гомоморфизмом этих Р., рассматриваемых как универсальные алгебры. Так, для любого отображения и изотонные отображения решетки Р в себя, являющиеся гомоморфизмами лишь в том и только в том случае, когда Р дистрибутивная решетка. Впрочем, первое из этих отображений является гомоморфизмом полурешетки Р с операцией , а второе гомоморфизмом полурешетки Р с операцией ^. . Совокупность всех Р. образует категорию, если морфизмами считать гомоморфизмы.

А н т и г о м о м о р ф и з м р е ш е т к и Р в решетку Р' есть такое отображение , что

для любых . Последовательное выполнение двух антигомоморфизмов является гомоморфизмом. Частично упорядоченное множество, антиизоморфное Р., есть Р.

Под к о о р д и н а т и з а ц и е й Р. понимают нахождение алгебраической системы (чаще, универсальной алгебры) такой, что данная Р. изоморфна Р. подсистем, Р. конгруэнций или какой-либо другой Р., связанной с этой алгебраич. системой или универсальной алгеброй. Произвольная Р. с 0 и 1 координатизируется частично упорядоченной полугруппой ее резидуальных отображений в себя, оказываясь изоморфной Р. правых аннуляторов этой полугруппы. Сама полугруппа является б э р о в с к о й, т.