Математическая энциклопедия - произведение

семейства объектов категории понятие, описывающее на языке морфизмов конструкцию декартова произведения. Пусть индексированное семейство объектов категории . Объект (вместе с морфизмами ) наз. произведением семейства объектов , если для всякого семейства морфизмов , существует такой единственный морфизм , что . Морфизмы pi наз. проекциями произведения; П. обозначается , или , или A1X...X А n в случае I={1, ..., п}. Морфизм а, входящий в определение П., иногда обозначается или . П. семейства , определено однозначно с точностью до изоморфизма; оно ассоциативно и коммутативно. Понятие П. семейства объектов двойственно понятию копроизведения семейства объектов.

Произведением пустого семейства объектов является правый нуль (терминальный объект) категории. В большинстве категорий структуризованных множеств (категории множеств, групп, топологич. пространств и т. д.) понятие П. семейства объектов совпадает с понятием декартова (прямого) П. этих объектов. Тем не менее такое совпадение но является обязательным: в категории периодических абелевых групп П. семейства групп , есть иериодич. часть декартова П. этих групп, к-рая в общем случае отличается от самого декартова П.

В категориях с нулевыми морфизмами для любого произведения существуют такие однозначно определенные морфизмы , что sipi=lAi, sipi=0 при . Если I конечно, то в абелевой категории p1s1+. . .+pnsn=1 и П. семейства объектов А 1, . .., А п совпадает с их копроизведением.

Лит.:[1] Цаленко М. III., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Цаленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985