Математическая энциклопедия - простой итерации метод

метод приближенного решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, к-рая преобразуется к виду х=Вх+с и решение к-рой находится как предел последовательности x^k+1=Bx^k+c, k=0, 1, . . ., где х ⁰ - начальное приближение. Для сходимости П. и. м. при любом начальном приближении х ⁰ необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы Вбыли по модулю меньше единицы; и достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы Вбыла меньше единицы. Если для нормы матрицы В, согласованной с нормой вектора х, имеет Место оценка , то П. и. м. сходится со скоростью геометрич. прогрессии и для погрешности метода верна оценка

Для случая кубической, октаэдрической и сферической векторных норм условие будет выполнено, если имеют место оценки:

Простейший вариант метода соответствует случаю, когда в качестве матрицы Ввыбирают матрицу E-А , где Е - единичная матрица. Если все диагональные элементы матрицы Аотличны от нуля, то, выбирая b=D^-1(D-А).и c=D^-1b, где D-диагональная матрица, диагональные элементы к-рой совпадают с диагональными элементами матрицы А , получают Якоби метод или метод одновременных смещений.

Частным случаем П. и. м. является метод В=Е-tA и с=tb, где т итерационный параметр, к-рый выбирается из условия минимума по t нормы матрицы Е-t А. Если g1 и g2 минимальное и максимальное собственные значения симметричной положительно определенной матрицы А, то при для сферич. нормы матрицы Вимеет место оценка , где

Для нелинейной системы алгебраич. уравнений

П. и. м. имеет вид

Вопрос о выборе итерационного параметра т решается в зависимости от дифференциальных свойств функций <Pi(z). Часто он подчинен требованию локальной сходимости метода в окрестности решения.

Лит.:[1] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М., 1963; [2] Б е-резинИ. С., Жидков Н. П., Методы вычислении, 3 изд., т. 1, М., 1966; [3] Ортега Д ж., РейнболдтВ., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ.. М., 1975; [4] СамарскийА. А., Николаев Ё. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978. Е. С. Николаев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985