Математическая энциклопедия - матрица

прямоугольная таблица

состоящая из тстрок и n столбцов, элементы к-рой принадлежат нек-рому множеству К. Таблица (1) наз. также -матрицей над К, или мат-

рицей размера над K. Пусть совокупность всех -матриц над К. Если т=п, то (1) наз. квадратной матрицей порядка га. Множество совокупность всех квадратных М. порядка пнад К.

Для М. пользуются также обозначениями

В наиболее важных случаях в качестве Квыступают поле действительных чисел, поле комплексных чисел, произвольное поле, кольцо многочленов, кольцо целых чисел, кольцо функций, произвольное ассоциативное кольцо. Операции сложения и умножения, определенные на К., естественным образом переносятся на М. над Ки возникает матричное исчисление предмет теории М.

Понятие М. впервые появилось в середине 19 в. в работах У. Гамильтона (W. Hamilton) и А. Кэли (A. Cayley). Фундаментальные результаты в теории М. принадлежат К. Вейерштрассу (К. Weierstrass), К. Жордану (С. Jordan), Г. Фробениусу (G. Frobenius). И. А. Лаппо-Данилевский развил теорию аналитич. функций многих матричных переменных и применил ее к изучению систем линейных дифференциальных уравнений.

Действия над матрицами. Пусть Кассоциативное кольцо,

Тогда сумма М. Аи В, по определению, равна

Приятом и сложение М. ассоциативно и коммутативно. Нулевой М. из наз.

М. 0, все элементы к-рой равны нулю. Для всякой

Пусть Произведение М. А и В определяется но правилу

где

Произведение двух М. из М n (К)всегда определено и принадлежит . Умножение М. ассоциативно:

если то

и ABC ОMn,m (K). Верен и дистрибутивный закон: для

В частности, (2) верно и для Следовательно, ассоциативное кольцо. Если К-

кольцо с единицей 1, то М.

будет единицей кольца :

для всех . Умножение М. некоммутативно:

при для любого ассоциативного кольца Кс единицей найдутся такие М. Аи Вв М п (К), что

Пусть произведение М. A на элемент (число),по определению, равно Тогда

Пусть Ккольцо с единицей. М. определяется как М. в единственный ненулевой элемент к-рой равен 1 и расположен на позиции Для любой из

Если Кполе, то векторное пространство над Кразмерности тп, а М.составляют один из базисов этого пространства.

Клеточная матрица. Пусть где и целые положительные числа. Тогда М. можно записать в виде

где

наз. клеточной. Пусть , и Взаписана в виде

Тогда

Напр., если можно рассматривать как , где М. Аиз М п (К). вида

где нулевая М. из , обозначается и наз. клеточно-диагональной. Причем

если порядки Ai и В i совпадают для i=l, . . ., к. Квадратные матрицы над полем. Пусть Кполе, det Аопределитель матрицы А. М. А

наз. невырожденной, если . . М. наз. обратной к A, если . Обратимость Ав М п (К)равносильна невырожденности и

где А ij алгебраическое дополнение элемента ai j; det A^-1= (det А)^-1. Для Аи В из М п (К)

Совокупность всех обратимых М. из М п (К)образует группу относительно умножения, к-рая наз. полной линейной группой и обозначается . Степени М. Аопределяются следующим образом: для k>0, а если А обратима, то . Для многочлена

определяется матричный многочлен

Всякая М. из М п (К)задает нек-рое линейное преобразование n-мерного векторного пространства V над К. Пусть базис в V, а линейное преобразование пространства V. Тогда однозначно определяется последовательностью векторов

При этом

где . Матрица наз. М. преобразования в базисе . При фиксированном базисе М. А+В будет М. преобразования ,

а АВМ. преобразования , где ВМ. линейного преобразования . Равенства (4) можно записать в виде

Пусть тоже базис в V. Тогда , , а М. s в базисе . М. Аи Виз М п (К)наз. подобными, если в найдется такая М. Т, что При этом det и ранги матриц Аи Всовпадают. Линейное преобразование наз. невырожденным, если ; тогда и только тогда невырождено, когда его М. невырождена. Если Vтрактовать как пространство столбцов , то линейное преобразование пространства Vпредставляет собой умножение столбцов на М. Аиз слева: , и М. преобразования в базисе

совпадает с А. М. тогда и только тогда вырождена, когда в существует такой столбец , что

Транспонирование и матрицы специального вида.

Пусть Тогда М. , где , наз. транспонированной к А. Матрица А ^т обозначается также ^t А и А'. Пусть Тогда М. где число, комплексно-сопряженное с , наз. комплексно-сопряженной с А. Матрица , где , наз. эрмитово-сопряженной с А. Многие М., используемые в приложениях, имеют специальные названия.

Полиномиальные матрицы. Пусть Кполе, К[х]кольцо всех многочленов от хс коэффициентами из К. М. над К[х]наз. полиномиальной. Для М. из кольца М п (К[х]). вводятся элементарные операции: 1) умножение строки или столбца М. на ненулевой элемент поля К,2) прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца) М., умноженной на многочлен из К[х]. М. Аи Виз наз. эквивалентными , если Вможно получить из Ас помощью конечного числа элементарных операций.

Пусть

где: 1),2) делится на при , 3) коэффициенты старших членов многочленов равны 1. Тогда Nназ. канонической полиномиальной М. В каждом классе эквивалентных М. кольца М п (К[х])содержится единственная ка-нонич. М. Многочлены

f1(x),...,fr(x) где