Математическая энциклопедия - матьё уравнение

обыкновенное линейное дифференциальное уравнение

с действительными коэффициентами. Введено Э. Матьё [1] при исследовании колебаний эллиптич. мембраны; частный случай Хилла уравнения.

Фундаментальная система решений М. у. имеет вид

при , пцелое, где есть -периодическая функция, а Ляпунова характеристический показательa. либо действительный, либо чисто мнимый. При

одно из решений неограниченно возрастает, а другое стремится к нулю для (зоны неустойчивости на плоскости ab параметров), при эти решения ограничены (зоны устойчивости). На границе этих зон (случай, исключенный в (*)) одна из функций фундаментальной системы решений М. у. либо p-периодична, либо -периодична (последняя наз. Матьё функцией), а вторая получается из первой умножением на z. Зоны неустойчивости имеют вид криволинейных треугольников с вершинами в точках a=n², b=0, n=0, 1, 2, ... (см. [2], [4]).

М. у. имеет и другую форму (см. [3]).

Лит.:[1] Mathieu Ё., Cours de physique mathematique, P., 1873; [2] Стретт М. Д. О., Функции Ламе, Матье и родственные им в физике и технике, пер. с нем., Хар.-К., 1935; [3] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. снем., 5 изд., М., 1976; [4] Якубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, М., 1972.

В. М. Старжинский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985