Математическая энциклопедия - матриц кольцо

полное кольцо матриц,кольцо всех квадратных матриц фиксированного порядка над кольцом R. Кольцо -матриц над R обозначается Rn или Mn(R). Всюду ниже Rассоциативное кольцо с единицей 1.

Кольцо Rn изоморфно кольцу End Mвсех эндоморфизмов свободного правого R-модуля М, обладающего га-элементным базисом. Матрица -

единица в Rn. Ассоциативное кольцо А с единицей 1 тогда и только тогда изоморфно Rn, когда в Аесть множество из n² элементов подчиненное следующим условиям:

1)

2) централизатор множества элементов е ij в Аизоморфен кольцу R.

Центр кольца Rn совпадает с Z(R)En, где Z(R)центр R;при n>1 кольцо Rn некоммутативно.

Мультипликативная группа кольца Rn (группа всех обратимых элементов) наз. полной линейной группой и обозначается GL(n, R). Матрица из Rn обратима в Rn тогда и только тогда, когда ее столбцы составляют базис свободного правого модуля всех -матриц над R. Если R коммутативно, то обратимость матрицы ав Rn равносильна обратимости ее определителя det ав R. Имеет место равенство

Кольцо Rn тогда и только тогда просто, когда просто R , ибо двусторонние идеалы в Rn имеют вид к n , где кдвусторонний идеал в R. Артиново кольцо тогда и только тогда просто, когда оно изоморфно М. к. над телом (теорема Веддерберна Артина). где J(R) радикал Джекобсона кольца R. Следовательно, для полупростого кольца R М. к. над R также полупросто. Если R регулярно (т. е. для любого в R есть такое b, что аbа=а), то и Rn регулярно. Если R кольцо с инвариантным базисным числом, т. е. число базисных элементов каждого свободного R-модуля не зависит от выбора базиса, то Rn также кольцо с инвариантным базисным числом. Кольца R и Rn эквивалентны в смысле Мориты (см. Мориты эквивалентность):

категория R-модулей эквивалентна категории Rn -модулей. Однако из того, что проективные R-модули свободны, еще не следует, что будут свободны и проективные Rn -модули. Так, если Rполе, а n>1, то существуют несвободные конечно порожденные проективные Rn -модули.

Лит.:[1] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977; [2] Ламбек И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; [3] Бокуть Л. А., Ассоциативные кольца, ч. 1, Новосиб., 1977. Д. А. Супруненко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985