Математическая энциклопедия - матричная игра

антагонистическая игра, в к-рой каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет тстратегий, а игрок II имеет пстратегий, то М. и. может быть задана матрицей , где , есть выигрыш игрока I, если он выбирает стратегию i, а игрок II стратегию j. Согласно общему принципу оптимальности в антагонистич. играх (см. также Мини-макса принцип), игрок I стремится выбрать такую стратегию , на к-рой достигается

а игрок II стремится выбрать стратегию , на к-рой достигается

Если то пара составляет седловую точку игры; число есть значение игры, а стратегии суть оптимальные чистые стратегии. Если (т. е.

решения в чистых стратегиях нет), то всегда В этом случае оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий. Пусть (соответственно ) множество смешанных стратегий игрока I (соответственно игрока II). Тогда игрок I будет стремиться к стратегии , на к-рой достигается

а игрок II к стратегии y*, на к-рой достигается

(символом ^т обозначено транспонирование). Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что т. е. для

любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х*, у* и значение игры v.

Для численного решения М. и. (т. е. нахождения оптимальных стратегий и значения игры) чаще всего используют возможность сведения М. и. к задаче линейного программирования. Менее эффективен итеративный метод Брауна Робинсон, к-рый состоит в фиктивном "разыгрывании" М. и., причем игроки на каждом шаге выбирают наилучшие чистые стратегии в условиях "накопленной" смешанной стратегии противника. М. и., в к-рых один из игроков имеет только две стратегии, просто решаются графич. методом.

М. и. могут служить математич. моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математич. статистики, военного дела, биологии. В приложениях в качестве одного из игроков нередко рассматривают "природу", под к-рой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решение Лицу (другому игроку).

Лит.:[1] Матричные игры. Сб. статей, М., 1961; [2] Нейман Д ж., Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; [3] Оуэн Г., Теория игр, пер. с англ., М., 1971; [4] Воробьев Н. Н., Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков, Л., 1974.

А. А. Корбут.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985