Математическая энциклопедия - матрицант

фундаментальная матрица X(t)решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

нормированная в точке t0.M. является единственным непрерывным решением матричной начальной задачи

(I единичная матрица), если матричная функция A(t)локально суммируема на нек-ром интервале Для любой матрицы M(t), составленной из столбцов-решений х 1 , . ., х т системы (*), где тнатуральное число, справедливо представление М(t)=X(t)M(t0). В частности, любое решение x(t)системы (*) записывается в виде x(t)=X(t)x(t0).

Для М. справедливы разложение

сходящееся абсолютно для всякого и равномерно на каждом конечном отрезке из J, и ЛиувилляОстроградского формула

Если матрица A(t)удовлетворяет условию Лаппо-Данилевского

то

В частности, если A(t)=Aпостоянная матрица, то

Если есть М. системы (*) с матрицей A(t), то

где

М. позволяет записать любое решение неоднородной системы

с локально суммируемой на J функцией b(t)по формуле Коши:

при этом

наз. матрицей Коши системы (*). Матрица Коши непрерывна по совокупности аргументов

на и для любых t, s, r из J обладает свойствами:

где -норма в ;

6) если H(t, s )-матрица Коши сопряженной системы

то

Лит.:[1] Бурбаки Н., Функции действительного переменного. Элементарная теория, пер. с франц., М., 1965; [2] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; [3] Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, М., 1967; [4] Якубович В. А., Старжинский В. М., Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения, М., 1972. Ю. В. Комленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985